Google
Câu hỏi: Trong không gian Oxyz, gọi $\left( S \right)$ là mặt cầu đi qua $D\left( 0;1;2 \right)$ và tiếp xúc với các trục Ox, Oy, Oz tại các điểm $A\left( a;0;0 \right),B\left( 0;b;0 \right),C\left( 0;0;c \right)$, trong đó $a,b,c\in \mathbb{R}\backslash \left\{ 0;1 \right\}$. Tính bán kính của $\left( S \right)$ ?
A. $\dfrac{3\sqrt{2}}{2}.$
B. $\sqrt{5}.$
C. $5\sqrt{2}.$
D. $\dfrac{\sqrt{5}}{2}.$
A. $\dfrac{3\sqrt{2}}{2}.$
B. $\sqrt{5}.$
C. $5\sqrt{2}.$
D. $\dfrac{\sqrt{5}}{2}.$
Mặt cầu $\left( S \right)$ tiếp xúc với Ox tại $A\left( a;0;0 \right)$.
$\Rightarrow $ Tâm I thuộc mặt phẳng đi qua A và vuông góc với Ox.
Mặt phẳng đi qua A và vuông góc với Ox là $1\left( x-a \right)=0\Leftrightarrow x=a$.
Tương tự, ta có tâm I thuộc mặt phẳng đi qua B và vuông góc với Oy là $y=b$, tâm I thuộc mặt phẳng đi qua C và vuông góc với Oz là $z=c\Rightarrow I\left( a;b;c \right)$.
Ta có: $I{{A}^{2}}=I{{B}^{2}}=I{{C}^{2}}=I{{D}^{2}}\Leftrightarrow {{b}^{2}}+{{c}^{2}}={{a}^{2}}+{{c}^{2}}={{a}^{2}}+{{b}^{2}}={{a}^{2}}+{{\left( b-1 \right)}^{2}}+{{\left( c-2 \right)}^{2}}\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& {{a}^{2}}={{b}^{2}}={{c}^{2}} \\
& {{b}^{2}}={{\left( b-1 \right)}^{2}}+{{\left( c-2 \right)}^{2}} \\
\end{aligned} \right..$
TH1: $\left\{ \begin{aligned}
& a=b=c \\
& {{a}^{2}}={{\left( a-1 \right)}^{2}}+{{\left( a-2 \right)}^{2}} \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& a=b=c \\
& {{a}^{2}}-6a+5=0 \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& a=b=c \\
& \left[ \begin{aligned}
& a=1\ \left( loai \right) \\
& a=5 \\
\end{aligned} \right. \\
\end{aligned} \right.\Rightarrow a=b=c=5$.
$\Rightarrow R=IA=\sqrt{{{5}^{2}}+{{5}^{2}}}=5\sqrt{2}$.
TH2: $\left\{ \begin{aligned}
& a=b=-c \\
& {{a}^{2}}={{\left( a-1 \right)}^{2}}+{{\left( a-2 \right)}^{2}} \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& a=b=-c \\
& {{a}^{2}}+2a+5=0\ \left( \text{vo nghiem} \right) \\
\end{aligned} \right.$.
TH3: $\left\{ \begin{aligned}
& a=-b=c \\
& {{a}^{2}}={{\left( a-1 \right)}^{2}}+{{\left( a-2 \right)}^{2}} \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& a=-b=c \\
& {{a}^{2}}-2a+5=0\ \left( \text{vo nghiem} \right) \\
\end{aligned} \right.$.
TH4: $\left\{ \begin{aligned}
& -a=b=c \\
& {{a}^{2}}={{\left( a-1 \right)}^{2}}+{{\left( a-2 \right)}^{2}} \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& -a=b=c \\
& {{a}^{2}}+6a+5=0 \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& -a=b=c \\
& \left[ \begin{aligned}
& a=-1\ \left( loai \right) \\
& a=5 \\
\end{aligned} \right. \\
\end{aligned} \right.$.
$\Rightarrow R=IA=\sqrt{{{5}^{2}}+{{5}^{2}}}=5\sqrt{2}$.
$\Rightarrow $ Tâm I thuộc mặt phẳng đi qua A và vuông góc với Ox.
Mặt phẳng đi qua A và vuông góc với Ox là $1\left( x-a \right)=0\Leftrightarrow x=a$.
Tương tự, ta có tâm I thuộc mặt phẳng đi qua B và vuông góc với Oy là $y=b$, tâm I thuộc mặt phẳng đi qua C và vuông góc với Oz là $z=c\Rightarrow I\left( a;b;c \right)$.
Ta có: $I{{A}^{2}}=I{{B}^{2}}=I{{C}^{2}}=I{{D}^{2}}\Leftrightarrow {{b}^{2}}+{{c}^{2}}={{a}^{2}}+{{c}^{2}}={{a}^{2}}+{{b}^{2}}={{a}^{2}}+{{\left( b-1 \right)}^{2}}+{{\left( c-2 \right)}^{2}}\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& {{a}^{2}}={{b}^{2}}={{c}^{2}} \\
& {{b}^{2}}={{\left( b-1 \right)}^{2}}+{{\left( c-2 \right)}^{2}} \\
\end{aligned} \right..$
TH1: $\left\{ \begin{aligned}
& a=b=c \\
& {{a}^{2}}={{\left( a-1 \right)}^{2}}+{{\left( a-2 \right)}^{2}} \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& a=b=c \\
& {{a}^{2}}-6a+5=0 \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& a=b=c \\
& \left[ \begin{aligned}
& a=1\ \left( loai \right) \\
& a=5 \\
\end{aligned} \right. \\
\end{aligned} \right.\Rightarrow a=b=c=5$.
$\Rightarrow R=IA=\sqrt{{{5}^{2}}+{{5}^{2}}}=5\sqrt{2}$.
TH2: $\left\{ \begin{aligned}
& a=b=-c \\
& {{a}^{2}}={{\left( a-1 \right)}^{2}}+{{\left( a-2 \right)}^{2}} \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& a=b=-c \\
& {{a}^{2}}+2a+5=0\ \left( \text{vo nghiem} \right) \\
\end{aligned} \right.$.
TH3: $\left\{ \begin{aligned}
& a=-b=c \\
& {{a}^{2}}={{\left( a-1 \right)}^{2}}+{{\left( a-2 \right)}^{2}} \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& a=-b=c \\
& {{a}^{2}}-2a+5=0\ \left( \text{vo nghiem} \right) \\
\end{aligned} \right.$.
TH4: $\left\{ \begin{aligned}
& -a=b=c \\
& {{a}^{2}}={{\left( a-1 \right)}^{2}}+{{\left( a-2 \right)}^{2}} \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& -a=b=c \\
& {{a}^{2}}+6a+5=0 \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& -a=b=c \\
& \left[ \begin{aligned}
& a=-1\ \left( loai \right) \\
& a=5 \\
\end{aligned} \right. \\
\end{aligned} \right.$.
$\Rightarrow R=IA=\sqrt{{{5}^{2}}+{{5}^{2}}}=5\sqrt{2}$.
Đáp án C.