Google
Câu hỏi: Trong không gian $Oxyz$, gọi $\left( P \right)$ là mặt phẳng đi qua hai điểm $A\left( 0 ; 1 ; -2 \right)$, $B\left( 2 ; 1 ; 0 \right)$ sao cho khoảng cách từ gốc tọa độ $O$ đến $\left( P \right)$ lớn nhất. Phương trình của mặt phẳng $\left( P \right)$ là
A. $x-y-z+3=0$.
B. $x+y-z-3=0$.
C. $x-2y-z-3=0$.
D. $2x-y-z-3=0$.
Gọi $H, K$ lần lượt là hình chiếu của $O$ trên $\left( P \right)$, $AB$.
Ta có: $d\left( O,\left( P \right) \right)=OH\le OK=d\left( O,AB \right)\text{=const}$ ; Đẳng thức xảy ra khi $H\equiv K$.
Vậy $d\left( O,\left( P \right) \right)$ lớn nhất khi $\left( P \right)$ chứa $AB$ và vuông góc với $OK$, hay $\left( P \right)$ chứa $AB$ và vuông góc với $\left( OAB \right)$.
Ta có: $\overrightarrow{AB}=\left( 2 ; 0 ; 2 \right)$, ${{\overrightarrow{n}}_{\left( OAB \right)}}=\left[ \overrightarrow{OA}, \overrightarrow{OB} \right]=\left( 2 ; -4 ; -2 \right)$. Chọn ${{\overrightarrow{n}}_{\left( P \right)}}=\left[ \overrightarrow{AB}, {{\overrightarrow{n}}_{\left( OAB \right)}} \right]=\left( 8 ; 8 ; -8 \right)$.
Mặt khác, $\left( P \right)$ đi qua $A\left( 0 ; 1 ; -2 \right)$ nên $\left( P \right):x+y-z-3=0$.
A. $x-y-z+3=0$.
B. $x+y-z-3=0$.
C. $x-2y-z-3=0$.
D. $2x-y-z-3=0$.
Ta có: $d\left( O,\left( P \right) \right)=OH\le OK=d\left( O,AB \right)\text{=const}$ ; Đẳng thức xảy ra khi $H\equiv K$.
Vậy $d\left( O,\left( P \right) \right)$ lớn nhất khi $\left( P \right)$ chứa $AB$ và vuông góc với $OK$, hay $\left( P \right)$ chứa $AB$ và vuông góc với $\left( OAB \right)$.
Ta có: $\overrightarrow{AB}=\left( 2 ; 0 ; 2 \right)$, ${{\overrightarrow{n}}_{\left( OAB \right)}}=\left[ \overrightarrow{OA}, \overrightarrow{OB} \right]=\left( 2 ; -4 ; -2 \right)$. Chọn ${{\overrightarrow{n}}_{\left( P \right)}}=\left[ \overrightarrow{AB}, {{\overrightarrow{n}}_{\left( OAB \right)}} \right]=\left( 8 ; 8 ; -8 \right)$.
Mặt khác, $\left( P \right)$ đi qua $A\left( 0 ; 1 ; -2 \right)$ nên $\left( P \right):x+y-z-3=0$.
Đáp án B.