Google
Câu hỏi: Trong không gian Oxyz, gọi d là đường thẳng đi qua $A\left( 2;1;0 \right)$, song song với mặt phẳng $\left( P \right):x-y-z=0$ và có tổng khoảng cách từ các điểm $M\left( 0;2;0 \right),N\left( 4;0;0 \right)$ tới đường thẳng d có giá trị nhỏ nhất. Vecto chỉ phương $\overrightarrow{u}$ của d có tọa độ là:
A. $\left( 1;0;1 \right)$
B. $\left( 2;1;1 \right)$
C. $\left( 3;2;1 \right)$
D. $\left( 0;1;-1 \right)$
A. $\left( 1;0;1 \right)$
B. $\left( 2;1;1 \right)$
C. $\left( 3;2;1 \right)$
D. $\left( 0;1;-1 \right)$
Gọi $\left( Q \right)$ là mặt phẳng đi qua A và song song với $\left( P \right)$.
Phương trình mặt phẳng $\left( Q \right)$ là $x-2-\left( y-1 \right)-z=0\Leftrightarrow x-y-z-1=0$
Gọi H, K lần lượt là hình chiếu của M, N trên mặt phẳng $\left( Q \right)$.
Phương trình đường thẳng $\Delta $ đi qua M, vuông góc với $\left( Q \right)$ là $\dfrac{x}{1}=\dfrac{y-2}{-1}=\dfrac{z}{-1}$
Vì $H=d\cap \left( Q \right)$ nên gọi $H\left( a;-a+2;-a \right)\Rightarrow a+a-2+a-1=0\Rightarrow a=1\Rightarrow H\left( 1;1;-1 \right)$
Tương tự, tìm được $K\left( 3;1;1 \right)$. Do đó $d\left( M;\left( d \right) \right)+d\left( N;\left( d \right) \right)\ge MH+MK$
Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi A, H, K thẳng hàng $\Rightarrow \overrightarrow{u}=\overrightarrow{HK}=\left( 2;0;2 \right)$.
Phương trình mặt phẳng $\left( Q \right)$ là $x-2-\left( y-1 \right)-z=0\Leftrightarrow x-y-z-1=0$
Gọi H, K lần lượt là hình chiếu của M, N trên mặt phẳng $\left( Q \right)$.
Phương trình đường thẳng $\Delta $ đi qua M, vuông góc với $\left( Q \right)$ là $\dfrac{x}{1}=\dfrac{y-2}{-1}=\dfrac{z}{-1}$
Vì $H=d\cap \left( Q \right)$ nên gọi $H\left( a;-a+2;-a \right)\Rightarrow a+a-2+a-1=0\Rightarrow a=1\Rightarrow H\left( 1;1;-1 \right)$
Tương tự, tìm được $K\left( 3;1;1 \right)$. Do đó $d\left( M;\left( d \right) \right)+d\left( N;\left( d \right) \right)\ge MH+MK$
Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi A, H, K thẳng hàng $\Rightarrow \overrightarrow{u}=\overrightarrow{HK}=\left( 2;0;2 \right)$.
Đáp án A.