Trong không gian Oxyz, gọi d là đường thẳng đi qua $A\left( 2;1;0...

Gọi $\left(Q\right)$ là mặt phẳng đi qua A và song song với $\left(P\right)$.
Phương trình mặt phẳng $\left(Q\right)$ là $x-2-(y-1)-z=0\iff x-y-z-1=0$
Gọi H, K lần lượt là hình chiếu của M, N trên mặt phẳng $\left(Q\right)$.
Phương trình đường thẳng $\mathrm{\Delta }$ đi qua M, vuông góc với $\left(Q\right)$ là ${\displaystyle \frac{x}{1}}={\displaystyle \frac{y-2}{-1}}={\displaystyle \frac{z}{-1}}$
Vì $H=d\cap \left(Q\right)$ nên gọi $H(a;-a+2;-a)\Rightarrow a+a-2+a-1=0\Rightarrow a=1\Rightarrow H(1;1;-1)$
Tương tự, tìm được $K(3;1;1)$. Do đó $d(M;\left(d\right))+d(N;\left(d\right))\ge MH+MK$
Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi A, H, K thẳng hàng $\Rightarrow \overrightarrow{u}=\overrightarrow{HK}=(2;0;2)$.