Trong không gian Oxyz, đường vuông góc chung của hai đường thẳng...

Giả sử AB là đường vuông góc chung của d và ${d}'$ với $A\in d$, $B\in {d}'$.
Ta có $\overrightarrow{{{u}_{d}}}=\left( 1;0;1 \right)$, $\overrightarrow{{{u}_{{{d}'}}}}=\left( 0;-2;3 \right)$, $\left\{ \begin{aligned}
& A\left( a+1;0;a-5 \right) \\
& b\left( 0;4-2b;3b+5 \right) \\
\end{aligned} \right.\Rightarrow \overrightarrow{BA}=\left( a+1;2b-4;a-3b-10 \right)$.
Khi đó $\left\{ \begin{aligned}
& d\bot AB \\
& {d}'\bot AB \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& \overrightarrow{{{u}_{d}}}.\overrightarrow{BA}=0 \\
& \overrightarrow{{{u}_{{{d}'}}}}.\overrightarrow{BA}=0 \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& \left( a+1 \right)+\left( a-3b-10 \right)=0 \\
& -2\left( 2b-4 \right)+3\left( a-3b-10 \right)=0 \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& a=3 \\
& b=-1 \\
\end{aligned} \right.$
$\Rightarrow \left\{ \begin{aligned}
& A\left( 4;0;-2 \right) \\
& B\left( 0;6;2 \right) \\
\end{aligned} \right.\Rightarrow \overrightarrow{BA}=\left( 4;-6;-4 \right)\Rightarrow \vec{u}=\left( -2;3;2 \right)$ là một VTCP của AB.
Kết hợp với AB qua $A\left( 4;0;-2 \right)\Rightarrow AB:\dfrac{x-4}{-2}=\dfrac{y}{3}=\dfrac{z+2}{2}$