Trong không gian $Oxyz$, đường thẳng đi qua điểm $M\left( 1;2;2...

Phương trình tham số của đường thẳng $d:\left\{ \begin{aligned}
& x=1+t \\
& y=2+t \\
& z=3+t \\
\end{aligned} \right.$.
Gọi $\Delta $ là đường thẳng cần tìm. Gọi $I=\Delta \cap d\Rightarrow I\in d$ $\Rightarrow I\left( 1+t;2+t;3+t \right)$.
Ta có $\overrightarrow{MI}=\left( t;t;1+t \right)$ ; mặt phẳng $\left( P \right)$ có VTPT là $\overrightarrow{n}=\left( 1;-1;1 \right)$.
$\Delta $ song song với mặt phẳng $\left( P \right)$ nên
$\overrightarrow{MI}\bot \overrightarrow{n}\Leftrightarrow \overrightarrow{MI}.\overrightarrow{n}=0\Leftrightarrow 1.t+\left( -1 \right).t+1.\left( 1+t \right)=0\Leftrightarrow t=-1$
$\Rightarrow \overrightarrow{MI}=\left( -1;-1;0 \right)$ là 1 VTCP của đường thẳng $\Delta $ và $\Delta $ đi qua điểm $M\left( 1;2;2 \right)$.
Vậy PTTS của đường thẳng $\Delta $ cần tìm là $\left\{ \begin{aligned}
& x=1-t' \\
& y=2-t' \\
& z=2 \\
\end{aligned} \right.$.