Trong không gian Oxyz, cho...

The Professor · 17/12/21

Câu hỏi: Trong không gian Oxyz, cho

d_{1} : \frac{x - 2}{1} = \frac{y - 1}{- 1} = \frac{z}{2}, d_{2} : {\begin{aligned} x = 2 - t \\ y = 3 \\ z = t \end{aligned}

. Phương trình mặt phẳng

(P)

sao cho

d_{1}, d_{2}

nằm về hai phía

(P)

và

(P)

cách đều

d_{1}, d_{2}

.
A.

(P) : x + 3 y + z - 8 = 0

B.

(P) : x + 3 y + z + 8 = 0

C.

(P) : 4 x + 5 y - 3 z + 4 = 0

D.

(P) : 4 x + 5 y + 3 z - 4 = 0

Lập luận để có 1 véctơ pháp tuyến của mặt phẳng

(P)

là

\vec{n} = [\vec{u_{1}}; \vec{u_{2}}]

rồi suy ra phương trình tổng quát của mặt phẳng

(P)

.
Sử dụng công thức khoảng cách

d (d_{1}; (P)) = d (M; (P))

với

d_{1} // (P); M \in d_{1}

.
Với điểm

M (x_{0}; y_{0}; z_{0})

và mặt phẳng

(P) : a x + b y + z + d = 0

thì

d (M; (P)) = \frac{| a x_{0} + b y_{0} + c z_{0} + d |}{\sqrt{a^{2} + b^{2} + c^{2}}}

.

Ta có

d_{1} : \frac{x - 2}{1} = \frac{y - 1}{- 1} = \frac{z}{2}

đi qua

M_{1} (2; 1; 0)

và có 1 véctơ chỉ phương

\vec{u_{1}} = (1; - 1; 2)

.
Và

d_{2} : {\begin{aligned} x = 2 - t \\ y = 3 \\ z = t \end{aligned}

đi qua

M_{1} (2; 3; 0)

và có 1 véctơ chỉ phương

\vec{u_{2}} = (- 1; 0; 1)

.
Vì

(P)

cách đều

d_{1}, d_{2}

nên

d_{1} // (P), d_{2} // (P)

suy ra 1 véctơ pháp tuyến của

(P)

là

\vec{n} = [\vec{u_{1}}; \vec{u_{2}}] = (- 1; - 3; - 1)

.
Suy ra phương trình tổng quát của

(P)

cách đều

d_{1}; d_{2}

nên

{\begin{aligned} d (M_{1}; (P)) = d (M_{2}; (P)) \\ I \in (P) \end{aligned}

.
Với

I (2; 2; 0)

là trung điểm của

M_{1} M_{2}

.
Suy ra

{\begin{aligned} \frac{| 2 + 3 + d |}{\sqrt{11}} = \frac{| 2 + 9 + d |}{\sqrt{11}} \\ 2 + 2.3 + d = 0 \end{aligned} \Leftrightarrow {\begin{aligned} | 5 + d | = | 11 + d | \\ d = - 8 \end{aligned} \Rightarrow d = - 8

.
Vậy phương trình mặt phẳng

(P) : x + 3 y + z - 8 = 0

.

Đáp án A.