Google
Câu hỏi: Trong không gian Oxyz, cho ${{d}_{1}}:\dfrac{x-2}{1}=\dfrac{y-1}{-1}=\dfrac{z}{2},{{\text{d}}_{2}}:\left\{ \begin{aligned}
& x=2-t \\
& y=3 \\
& z=t \\
\end{aligned} \right. $. Phương trình mặt phẳng $ \left( P \right) $ sao cho $ {{d}_{1}},{{\text{d}}_{2}} $ nằm về hai phía $ \left( P \right) $ và $ \left( P \right) $ cách đều $ {{d}_{1}},{{\text{d}}_{2}}$.
A. $\left( P \right):x+3y+z-8=0$
B. $\left( P \right):x+3y+z+8=0$
C. $\left( P \right):4x+5y-3z+4=0$
D. $\left( P \right):4x+5y+3z-4=0$
Ta có ${{d}_{1}}:\dfrac{x-2}{1}=\dfrac{y-1}{-1}=\dfrac{z}{2}$ đi qua ${{M}_{1}}\left( 2;1;0 \right)$ và có 1 véctơ chỉ phương $\overrightarrow{{{u}_{1}}}=\left( 1;-1;2 \right)$.
Và ${{d}_{2}}:\left\{ \begin{aligned}
& x=2-t \\
& y=3 \\
& z=t \\
\end{aligned} \right. $ đi qua $ {{M}_{1}}\left( 2;3;0 \right) $ và có 1 véctơ chỉ phương $ \overrightarrow{{{u}_{2}}}=\left( -1;0;1 \right)$.
Vì $\left( P \right)$ cách đều ${{d}_{1}},{{\text{d}}_{2}}$ nên ${{d}_{1}}\text{ // }\left( P \right),{{\text{d}}_{2}}\text{ // }\left( P \right)$ suy ra 1 véctơ pháp tuyến của $\left( P \right)$ là
$\overrightarrow{n}=\left[ \overrightarrow{{{u}_{1}}};\overrightarrow{{{u}_{2}}} \right]=\left( -1;-3;-1 \right)$.
Suy ra phương trình tổng quát của $\left( P \right)$ cách đều ${{d}_{1}};{{\text{d}}_{2}}$ nên $\left\{ \begin{aligned}
& d\left( {{M}_{1}};(P) \right)=d\left( {{M}_{2}};(P) \right) \\
& I\in \left( P \right) \\
\end{aligned} \right.$.
Với $I\left( 2;2;0 \right)$ là trung điểm của ${{M}_{1}}{{M}_{2}}$.
Suy ra $\left\{ \begin{aligned}
& \dfrac{\left| 2+3+d \right|}{\sqrt{11}}=\dfrac{\left| 2+9+d \right|}{\sqrt{11}} \\
& 2+2.3+d=0 \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& \left| 5+d \right|=\left| 11+d \right| \\
& d=-8 \\
\end{aligned} \right.\Rightarrow d=-8$.
Vậy phương trình mặt phẳng $\left( P \right):x+3y+z-8=0$.
& x=2-t \\
& y=3 \\
& z=t \\
\end{aligned} \right. $. Phương trình mặt phẳng $ \left( P \right) $ sao cho $ {{d}_{1}},{{\text{d}}_{2}} $ nằm về hai phía $ \left( P \right) $ và $ \left( P \right) $ cách đều $ {{d}_{1}},{{\text{d}}_{2}}$.
A. $\left( P \right):x+3y+z-8=0$
B. $\left( P \right):x+3y+z+8=0$
C. $\left( P \right):4x+5y-3z+4=0$
D. $\left( P \right):4x+5y+3z-4=0$
| Lập luận để có 1 véctơ pháp tuyến của mặt phẳng $\left( P \right)$ là $\overrightarrow{n}=\left[ \overrightarrow{{{u}_{1}}};\overrightarrow{{{u}_{2}}} \right]$ rồi suy ra phương trình tổng quát của mặt phẳng $\left( P \right)$. Sử dụng công thức khoảng cách $d\left( {{d}_{1}};(P) \right)=d\left( M;(P) \right)$ với ${{d}_{1}}\text{ // }\left( P \right);\text{ M}\in {{\text{d}}_{1}}$. Với điểm $M\left( {{x}_{0}};{{y}_{0}};{{z}_{0}} \right)$ và mặt phẳng $\left( P \right):ax+by+z+d=0$ thì $d\left( M;(P) \right)=\dfrac{\left| a{{x}_{0}}+b{{y}_{0}}+c{{z}_{0}}+d \right|}{\sqrt{{{a}^{2}}+{{b}^{2}}+{{c}^{2}}}}$. |
Và ${{d}_{2}}:\left\{ \begin{aligned}
& x=2-t \\
& y=3 \\
& z=t \\
\end{aligned} \right. $ đi qua $ {{M}_{1}}\left( 2;3;0 \right) $ và có 1 véctơ chỉ phương $ \overrightarrow{{{u}_{2}}}=\left( -1;0;1 \right)$.
Vì $\left( P \right)$ cách đều ${{d}_{1}},{{\text{d}}_{2}}$ nên ${{d}_{1}}\text{ // }\left( P \right),{{\text{d}}_{2}}\text{ // }\left( P \right)$ suy ra 1 véctơ pháp tuyến của $\left( P \right)$ là
$\overrightarrow{n}=\left[ \overrightarrow{{{u}_{1}}};\overrightarrow{{{u}_{2}}} \right]=\left( -1;-3;-1 \right)$.
Suy ra phương trình tổng quát của $\left( P \right)$ cách đều ${{d}_{1}};{{\text{d}}_{2}}$ nên $\left\{ \begin{aligned}
& d\left( {{M}_{1}};(P) \right)=d\left( {{M}_{2}};(P) \right) \\
& I\in \left( P \right) \\
\end{aligned} \right.$.
Với $I\left( 2;2;0 \right)$ là trung điểm của ${{M}_{1}}{{M}_{2}}$.
Suy ra $\left\{ \begin{aligned}
& \dfrac{\left| 2+3+d \right|}{\sqrt{11}}=\dfrac{\left| 2+9+d \right|}{\sqrt{11}} \\
& 2+2.3+d=0 \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& \left| 5+d \right|=\left| 11+d \right| \\
& d=-8 \\
\end{aligned} \right.\Rightarrow d=-8$.
Vậy phương trình mặt phẳng $\left( P \right):x+3y+z-8=0$.
Đáp án A.