Trong không gian Oxyz, cho tứ diện ABCD với $A\left( m;0;0...

The Knowledge · 22/2/22

Câu hỏi: Trong không gian Oxyz, cho tứ diện ABCD với

A (m; 0; 0), B (0, m - 1; 0), C (0, 0, m + 4)

thỏa mãn

B C = A D, C A = B D

và

A B = C D

. Giá trị nhỏ nhất của bán kính mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD bằng
A.

\frac{\sqrt{7}}{2}

B.

\frac{\sqrt{14}}{2}

C.

\sqrt{7}

D.

\sqrt{14}

Đặt

A B = C D = a, A C = B D = b, A D = B C = c

Gọi M, N, O lần lượt là trung điểm của AB; CD và MN

Ta có:

Δ A C D = Δ B D C (c - c - c) \Rightarrow D M = C M

Khi đó

M N ⊥ C D

, tương tự

M N ⊥ A B

suy ra O là tâm mặt cầu ngoại tiếp tứ diện.
Ta có:

R^{2} = O A^{2} = O B^{2} = O M^{2} + A M^{2} = \frac{M N^{2}}{4} + \frac{a^{2}}{4}

Xét

Δ C M N

có:

M N^{2} = C M^{2} - C N^{2} = \frac{b^{2} + c^{2}}{2} - \frac{a^{2}}{4} - \frac{a^{2}}{4}

= \frac{b^{2} + c^{2} - a^{2}}{2} \Rightarrow R^{2} = \frac{b^{2} + c^{2} - a^{2}}{8} + \frac{a^{2}}{4} = \frac{a^{2} + b^{2} + c^{2}}{8}

.
Vậy

R = \sqrt{\frac{a^{2} + b^{2} + c^{2}}{8}}

.
Mặt khác

A B = \sqrt{m^{2} + {(m - 1)}^{2}}, A C = \sqrt{m^{2} + {(m + 4)}^{2}}, B C = \sqrt{{(m - 1)}^{2} + {(m + 4)}^{2}}

Suy ra

R = \sqrt{\frac{2 [m^{2} + {(m - 1)}^{2} + {(m + 4)}^{2}]}{8}} = \sqrt{\frac{3 m^{2} + 6 m + 17}{4}} = \sqrt{\frac{3 {(m + 1)}^{2} + 14}{4}} \geq \frac{\sqrt{14}}{2}

.
Vậy

R_{min} = \frac{\sqrt{14}}{2} \Leftrightarrow m = - 1

.

Đáp án B.