Google
Câu hỏi: Trong không gian Oxyz, cho tứ diện ABCD với $A\left( m;0;0 \right),B\left( 0,m-1;0 \right),C\left( 0,0,m+4 \right)$ thỏa mãn $BC=AD,CA=BD$ và $AB=CD$. Giá trị nhỏ nhất của bán kính mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD bằng
A. $\dfrac{\sqrt{7}}{2}$
B. $\dfrac{\sqrt{14}}{2}$
C. $\sqrt{7}$
D. $\sqrt{14}$
A. $\dfrac{\sqrt{7}}{2}$
B. $\dfrac{\sqrt{14}}{2}$
C. $\sqrt{7}$
D. $\sqrt{14}$
Đặt $AB=CD=a,AC=BD=b,AD=BC=c$
Gọi M, N, O lần lượt là trung điểm của AB; CD và MN
Ta có: $\Delta ACD=\Delta BDC\left( c-c-c \right)\Rightarrow DM=CM$
Khi đó $MN\bot CD$, tương tự $MN\bot AB$ suy ra O là tâm mặt cầu ngoại tiếp tứ diện.
Ta có: ${{R}^{2}}=O{{A}^{2}}=O{{B}^{2}}=O{{M}^{2}}+A{{M}^{2}}=\dfrac{M{{N}^{2}}}{4}+\dfrac{{{a}^{2}}}{4}$
Xét $\Delta CMN$ có:
$M{{N}^{2}}=C{{M}^{2}}-C{{N}^{2}}=\dfrac{{{b}^{2}}+{{c}^{2}}}{2}-\dfrac{{{a}^{2}}}{4}-\dfrac{{{a}^{2}}}{4}$
$=\dfrac{{{b}^{2}}+{{c}^{2}}-{{a}^{2}}}{2}\Rightarrow {{R}^{2}}=\dfrac{{{b}^{2}}+{{c}^{2}}-{{a}^{2}}}{8}+\dfrac{{{a}^{2}}}{4}=\dfrac{{{a}^{2}}+{{b}^{2}}+{{c}^{2}}}{8}$.
Vậy $R=\sqrt{\dfrac{{{a}^{2}}+{{b}^{2}}+{{c}^{2}}}{8}}$.
Mặt khác $AB=\sqrt{{{m}^{2}}+{{\left( m-1 \right)}^{2}}},AC=\sqrt{{{m}^{2}}+{{\left( m+4 \right)}^{2}}},BC=\sqrt{{{\left( m-1 \right)}^{2}}+{{\left( m+4 \right)}^{2}}}$
Suy ra $R=\sqrt{\dfrac{2\left[ {{m}^{2}}+{{\left( m-1 \right)}^{2}}+{{\left( m+4 \right)}^{2}} \right]}{8}}=\sqrt{\dfrac{3{{m}^{2}}+6m+17}{4}}=\sqrt{\dfrac{3{{\left( m+1 \right)}^{2}}+14}{4}}\ge \dfrac{\sqrt{14}}{2}$.
Vậy ${{R}_{\min }}=\dfrac{\sqrt{14}}{2}\Leftrightarrow m=-1$.
Gọi M, N, O lần lượt là trung điểm của AB; CD và MN
Ta có: $\Delta ACD=\Delta BDC\left( c-c-c \right)\Rightarrow DM=CM$
Khi đó $MN\bot CD$, tương tự $MN\bot AB$ suy ra O là tâm mặt cầu ngoại tiếp tứ diện.
Ta có: ${{R}^{2}}=O{{A}^{2}}=O{{B}^{2}}=O{{M}^{2}}+A{{M}^{2}}=\dfrac{M{{N}^{2}}}{4}+\dfrac{{{a}^{2}}}{4}$
Xét $\Delta CMN$ có:
$M{{N}^{2}}=C{{M}^{2}}-C{{N}^{2}}=\dfrac{{{b}^{2}}+{{c}^{2}}}{2}-\dfrac{{{a}^{2}}}{4}-\dfrac{{{a}^{2}}}{4}$
$=\dfrac{{{b}^{2}}+{{c}^{2}}-{{a}^{2}}}{2}\Rightarrow {{R}^{2}}=\dfrac{{{b}^{2}}+{{c}^{2}}-{{a}^{2}}}{8}+\dfrac{{{a}^{2}}}{4}=\dfrac{{{a}^{2}}+{{b}^{2}}+{{c}^{2}}}{8}$.
Vậy $R=\sqrt{\dfrac{{{a}^{2}}+{{b}^{2}}+{{c}^{2}}}{8}}$.
Mặt khác $AB=\sqrt{{{m}^{2}}+{{\left( m-1 \right)}^{2}}},AC=\sqrt{{{m}^{2}}+{{\left( m+4 \right)}^{2}}},BC=\sqrt{{{\left( m-1 \right)}^{2}}+{{\left( m+4 \right)}^{2}}}$
Suy ra $R=\sqrt{\dfrac{2\left[ {{m}^{2}}+{{\left( m-1 \right)}^{2}}+{{\left( m+4 \right)}^{2}} \right]}{8}}=\sqrt{\dfrac{3{{m}^{2}}+6m+17}{4}}=\sqrt{\dfrac{3{{\left( m+1 \right)}^{2}}+14}{4}}\ge \dfrac{\sqrt{14}}{2}$.
Vậy ${{R}_{\min }}=\dfrac{\sqrt{14}}{2}\Leftrightarrow m=-1$.
Đáp án B.