Google
Câu hỏi: Trong không gian $Oxyz$, cho tứ diện $ABCD$ có tọa độ các đỉnh $A\left( 1;1;1 \right),B\left( 2;0;2 \right)$, $C\left( -1;-1;0 \right)$, $D\left( 0;3;4 \right)$. Trên các cạnh $AB,AC,AD$ lần lượt lấy các điểm $M,N,P$ thỏa mãn $\dfrac{AB}{AM}+\dfrac{AC}{AN}+\dfrac{AD}{AP}=6$. Viết phương trình mặt phẳng $\left( MNP \right)$, biết khối tứ diện $AMNP$ có thể tích nhỏ nhất.
A. $8x+20y-22z+11=0$.
B. $8x+20y-22z-11=0$.
C. $8x-20y-22z+11=0$.
D. $8x+20y+22z-11=0$
A. $8x+20y-22z+11=0$.
B. $8x+20y-22z-11=0$.
C. $8x-20y-22z+11=0$.
D. $8x+20y+22z-11=0$
Ta có: $\dfrac{{{V}_{ABCD}}}{{{V}_{AMNP}}}=\dfrac{AB}{AM}.\dfrac{AC}{AN}.\dfrac{AD}{AP}\le {{\left( \dfrac{\dfrac{AB}{AM}+\dfrac{AC}{AN}+\dfrac{AD}{AP}}{3} \right)}^{3}}=8\Rightarrow {{V}_{AMNP}}\ge \dfrac{1}{8}{{V}_{ABCD}}.$ ( ${{V}_{ABCD}}$ cố định).
Dấu "=" xảy ra khi $\dfrac{AB}{AM}=\dfrac{AC}{AN}=\dfrac{AD}{AP}=2.$ Suy ra $M,N,P$ lần lượt là trung điểm của $AB,AC,AD\Rightarrow M\left( \dfrac{3}{2};\dfrac{1}{2};\dfrac{3}{2} \right)$ và $\left( MNP \right)//\left( BCD \right)$.
$\overrightarrow{BC}=\left( -3;-1;-2 \right),\overrightarrow{BD}=\left( -2;3;2 \right)\Rightarrow \overrightarrow{n}=\left[ \overrightarrow{BC},\overrightarrow{BD} \right]=\left( 4;10;-11 \right).$
Mặt phẳng $\left( MNP \right)$ đi qua điểm $M$ và có véc tơ pháp tuyến $\overrightarrow{n}$ nên có phương trình là:
$4\left( x-\dfrac{3}{2} \right)+10\left( y-\dfrac{1}{2} \right)-11\left( z-\dfrac{3}{2} \right)=0\Leftrightarrow 8x-20y+22z+11=0.$
Dấu "=" xảy ra khi $\dfrac{AB}{AM}=\dfrac{AC}{AN}=\dfrac{AD}{AP}=2.$ Suy ra $M,N,P$ lần lượt là trung điểm của $AB,AC,AD\Rightarrow M\left( \dfrac{3}{2};\dfrac{1}{2};\dfrac{3}{2} \right)$ và $\left( MNP \right)//\left( BCD \right)$.
$\overrightarrow{BC}=\left( -3;-1;-2 \right),\overrightarrow{BD}=\left( -2;3;2 \right)\Rightarrow \overrightarrow{n}=\left[ \overrightarrow{BC},\overrightarrow{BD} \right]=\left( 4;10;-11 \right).$
Mặt phẳng $\left( MNP \right)$ đi qua điểm $M$ và có véc tơ pháp tuyến $\overrightarrow{n}$ nên có phương trình là:
$4\left( x-\dfrac{3}{2} \right)+10\left( y-\dfrac{1}{2} \right)-11\left( z-\dfrac{3}{2} \right)=0\Leftrightarrow 8x-20y+22z+11=0.$
Đáp án A.