Google
Câu hỏi: Trong không gian Oxyz, cho tứ diện ABCD có điểm $A\left( 1;1;1 \right),B\left( 2;0;2 \right),C\left( -1;-1;0 \right)$, $D\left( 0;3;4 \right)$. Trên các cạnh AB, AC, AD lần lượt lấy các điểm ${B}',{C}',{D}'$ thỏa mãn $\dfrac{AB}{A{B}'}+\dfrac{AC}{A{C}'}+\dfrac{A\text{D}}{A\text{{D}'}}=4$. Phương trình mặt phẳng $\left( {B}'{C}'{D}' \right)$ biết tứ diện $A{B}'{C}'{D}'$ có thể tích nhỏ nhất là phương trình nào sau đây?
A. $16\text{x}+40y-44\text{z}+39=0$
B. $16\text{x}+40y+44z-39=0$
C. $16x-40y-44\text{z}+39=0$
D. $16x-40y-44z-39=0$
A. $16\text{x}+40y-44\text{z}+39=0$
B. $16\text{x}+40y+44z-39=0$
C. $16x-40y-44\text{z}+39=0$
D. $16x-40y-44z-39=0$
Áp dụng bất đẳng thức Cô-si ta có: $4=\dfrac{AB}{A{B}'}+\dfrac{AC}{A{C}'}+\dfrac{A\text{D}}{A\text{{D}'}}\ge 3\sqrt[3]{\dfrac{AB.AC.AD}{AB'.AC'.AD'}}$.
$\Rightarrow \dfrac{AB'.AC'.AD'}{AB.AC.AD}\ge \dfrac{27}{64}\Rightarrow \dfrac{{{V}_{AB'C'D'}}}{{{V}_{ABCD}}}=\dfrac{AB'.AC'.AD'}{AB.AC.AD}\ge \dfrac{27}{64}\Rightarrow {{V}_{A{B}'{C}'{D}'}}\ge \dfrac{27}{64}{{V}_{ABC\text{D}}}$
Để ${{V}_{A{B}'{C}'{D}'}}$ nhỏ nhất khi và chỉ khi $\dfrac{A{B}'}{AB}=\dfrac{A{C}'}{AC}=\dfrac{A\text{{D}'}}{A\text{D}}=\dfrac{3}{4}\Rightarrow \left\{ \begin{aligned}
& \overrightarrow{A{B}'}=\dfrac{3}{4}\overrightarrow{AB}\Rightarrow {B}'\left( \dfrac{7}{4};\dfrac{1}{4};\dfrac{7}{4} \right) \\
& \left( {B}'{C}'{D}' \right)\text{ // }\left( BC\text{D} \right) \\
\end{aligned} \right.$.
Ta có $\overrightarrow{CB}=\left( 3;1;2 \right),\overrightarrow{C\text{D}}=\left( 1;4;4 \right)$ suy ra mặt phẳng $\left( BC\text{D} \right)$ có véctơ pháp tuyến là
$\overrightarrow{n}=\left[ \overrightarrow{CB};\overrightarrow{C\text{D}} \right]=\left( -4;-10;11 \right)$.
Lúc đó mặt phẳng $\left( {B}'{C}'{D}' \right)$ song song với mặt phẳng $\left( BC\text{D} \right)$ và đi qua ${B}'\left( \dfrac{7}{4};\dfrac{1}{4};\dfrac{7}{4} \right)$
$\Rightarrow \left( {B}'{C}'{D}' \right):16\text{x}+40y-44\text{z}+39=0$.
$\Rightarrow \dfrac{AB'.AC'.AD'}{AB.AC.AD}\ge \dfrac{27}{64}\Rightarrow \dfrac{{{V}_{AB'C'D'}}}{{{V}_{ABCD}}}=\dfrac{AB'.AC'.AD'}{AB.AC.AD}\ge \dfrac{27}{64}\Rightarrow {{V}_{A{B}'{C}'{D}'}}\ge \dfrac{27}{64}{{V}_{ABC\text{D}}}$
Để ${{V}_{A{B}'{C}'{D}'}}$ nhỏ nhất khi và chỉ khi $\dfrac{A{B}'}{AB}=\dfrac{A{C}'}{AC}=\dfrac{A\text{{D}'}}{A\text{D}}=\dfrac{3}{4}\Rightarrow \left\{ \begin{aligned}
& \overrightarrow{A{B}'}=\dfrac{3}{4}\overrightarrow{AB}\Rightarrow {B}'\left( \dfrac{7}{4};\dfrac{1}{4};\dfrac{7}{4} \right) \\
& \left( {B}'{C}'{D}' \right)\text{ // }\left( BC\text{D} \right) \\
\end{aligned} \right.$.
Ta có $\overrightarrow{CB}=\left( 3;1;2 \right),\overrightarrow{C\text{D}}=\left( 1;4;4 \right)$ suy ra mặt phẳng $\left( BC\text{D} \right)$ có véctơ pháp tuyến là
$\overrightarrow{n}=\left[ \overrightarrow{CB};\overrightarrow{C\text{D}} \right]=\left( -4;-10;11 \right)$.
Lúc đó mặt phẳng $\left( {B}'{C}'{D}' \right)$ song song với mặt phẳng $\left( BC\text{D} \right)$ và đi qua ${B}'\left( \dfrac{7}{4};\dfrac{1}{4};\dfrac{7}{4} \right)$
$\Rightarrow \left( {B}'{C}'{D}' \right):16\text{x}+40y-44\text{z}+39=0$.
Đáp án A.