Trong không gian Oxyz, cho tứ diện ABCD có điểm $A\left( 1;1;1...

The Knowledge · 14/12/21

Câu hỏi: Trong không gian Oxyz, cho tứ diện ABCD có điểm

A (1; 1; 1), B (2; 0; 2), C (- 1; - 1; 0)

,

D (0; 3; 4)

. Trên các cạnh AB, AC, AD lần lượt lấy các điểm

B^{'}, C^{'}, D^{'}

thỏa mãn

\frac{A B}{A B^{'}} + \frac{A C}{A C^{'}} + \frac{A D}{A {D}'} = 4

. Phương trình mặt phẳng

(B^{'} C^{'} D^{'})

biết tứ diện

A B^{'} C^{'} D^{'}

có thể tích nhỏ nhất là phương trình nào sau đây?
A.

16 x + 40 y - 44 z + 39 = 0

B.

16 x + 40 y + 44 z - 39 = 0

C.

16 x - 40 y - 44 z + 39 = 0

D.

16 x - 40 y - 44 z - 39 = 0

Áp dụng bất đẳng thức Cô-si ta có:

4 = \frac{A B}{A B^{'}} + \frac{A C}{A C^{'}} + \frac{A D}{A {D}'} \geq 3 \sqrt[3]{\frac{A B . A C . A D}{A B^{'} . A C^{'} . A D^{'}}}

.

\Rightarrow \frac{A B^{'} . A C^{'} . A D^{'}}{A B . A C . A D} \geq \frac{27}{64} \Rightarrow \frac{V_{A B^{'} C^{'} D^{'}}}{V_{A B C D}} = \frac{A B^{'} . A C^{'} . A D^{'}}{A B . A C . A D} \geq \frac{27}{64} \Rightarrow V_{A B^{'} C^{'} D^{'}} \geq \frac{27}{64} V_{A B C D}

Để

V_{A B^{'} C^{'} D^{'}}

nhỏ nhất khi và chỉ khi

\frac{A B^{'}}{A B} = \frac{A C^{'}}{A C} = \frac{A {D}'}{A D} = \frac{3}{4} \Rightarrow {\begin{aligned} \vec{A B^{'}} = \frac{3}{4} \vec{A B} \Rightarrow B^{'} (\frac{7}{4}; \frac{1}{4}; \frac{7}{4}) \\ (B^{'} C^{'} D^{'}) // (B C D) \end{aligned}

.
Ta có

\vec{C B} = (3; 1; 2), \vec{C D} = (1; 4; 4)

suy ra mặt phẳng

(B C D)

có véctơ pháp tuyến là

\vec{n} = [\vec{C B}; \vec{C D}] = (- 4; - 10; 11)

.
Lúc đó mặt phẳng

(B^{'} C^{'} D^{'})

song song với mặt phẳng

(B C D)

và đi qua

B^{'} (\frac{7}{4}; \frac{1}{4}; \frac{7}{4})

\Rightarrow (B^{'} C^{'} D^{'}) : 16 x + 40 y - 44 z + 39 = 0

.

Đáp án A.