Google
Câu hỏi: Trong không gian $Oxyz,$ cho tam giác nhọn $ABC$ có $E\left( 2;2;1 \right),F\left( -\dfrac{8}{3};\dfrac{4}{3};\dfrac{8}{3} \right),O\left( 0;0;0 \right)$ lần lượt là chân đường cao hạ từ đỉnh $A,B,C$ xuống các cạnh $BC,CA,AB.$ Biết $A\left( a;b;c \right)$. Giá trị của biểu thức $a+b+c$ bằng:
A. $-4$.
B. $-6$.
C. $4$.
D. $6$.
A. $-4$.
B. $-6$.
C. $4$.
D. $6$.
Ta có: $\overrightarrow{OE}=\left( 2;2;1 \right)\Rightarrow OE=3$ ; $\overrightarrow{OF}=\left( -\dfrac{8}{3};\dfrac{4}{3};\dfrac{8}{3} \right)\Rightarrow OF=4$ ; $\overrightarrow{FE}=\left( \dfrac{14}{3};\dfrac{2}{3};-\dfrac{5}{3} \right)\Rightarrow FE=5$
$\Rightarrow \Delta FOE$ vuông tại $O$
Chọn $\overrightarrow{u}=\dfrac{1}{OE}.\overrightarrow{EO}+\dfrac{1}{EF}.\overrightarrow{EF}=\left( -\dfrac{8}{5};-\dfrac{4}{5};0 \right)=-\dfrac{4}{5}\left( 2;1;0 \right)$ là một vecto chỉ phương của đường cao $d$ xuất phát từ đỉnh $A$.
Phương trình tham số của $d: \left\{ \begin{aligned}
& x=2+2t \\
& y=2+t \\
& z=1 \\
\end{aligned} \right. $ và $ A\left( 2+2t;2+t;1 \right)\in d$
Gọi $\left( Q \right)$ đi qua $O$ và vuông góc với $d$. Phương trình của $\left( Q \right):2x+2y=0$
Ta có $\widehat{FOA}={{45}^{0}}\Rightarrow \text{cos}\left( OA,FO \right)=\dfrac{\sqrt{2}}{2}$
$\Rightarrow \dfrac{\left| -\dfrac{8}{3}.\left( 2+2t \right)+\dfrac{4}{3}\left( 2+t \right)+\dfrac{8}{3} \right|}{4.\sqrt{{{\left( 2+2t \right)}^{2}}+{{\left( 2+t \right)}^{2}}+{{1}^{2}}}}=\dfrac{\sqrt{2}}{2}\Leftrightarrow \dfrac{\left| -16-16t+8+4t+8 \right|}{2\sqrt{5{{t}^{2}}+12t+9}}=3\sqrt{2}$
$\Leftrightarrow \left| 2t \right|=\sqrt{2}.\sqrt{5{{t}^{2}}+12t+9}\Leftrightarrow 2{{t}^{2}}=5{{t}^{2}}+12t+9\Leftrightarrow 3{{t}^{2}}+12t+9=0\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& t=-1\Rightarrow A\left( 0;1;1 \right) \\
& t=-3\Rightarrow A\left( -4;-1;1 \right) \\
\end{aligned} \right.$
Trong đó: $A\left( -4;-1;1 \right)$ thỏa điều kiện $A,E$ khác phía với $\left( Q \right)$. Vậy $A\left( -4;-1;1 \right)$
$\Rightarrow \Delta FOE$ vuông tại $O$
Phương trình tham số của $d: \left\{ \begin{aligned}
& x=2+2t \\
& y=2+t \\
& z=1 \\
\end{aligned} \right. $ và $ A\left( 2+2t;2+t;1 \right)\in d$
Gọi $\left( Q \right)$ đi qua $O$ và vuông góc với $d$. Phương trình của $\left( Q \right):2x+2y=0$
Ta có $\widehat{FOA}={{45}^{0}}\Rightarrow \text{cos}\left( OA,FO \right)=\dfrac{\sqrt{2}}{2}$
$\Rightarrow \dfrac{\left| -\dfrac{8}{3}.\left( 2+2t \right)+\dfrac{4}{3}\left( 2+t \right)+\dfrac{8}{3} \right|}{4.\sqrt{{{\left( 2+2t \right)}^{2}}+{{\left( 2+t \right)}^{2}}+{{1}^{2}}}}=\dfrac{\sqrt{2}}{2}\Leftrightarrow \dfrac{\left| -16-16t+8+4t+8 \right|}{2\sqrt{5{{t}^{2}}+12t+9}}=3\sqrt{2}$
$\Leftrightarrow \left| 2t \right|=\sqrt{2}.\sqrt{5{{t}^{2}}+12t+9}\Leftrightarrow 2{{t}^{2}}=5{{t}^{2}}+12t+9\Leftrightarrow 3{{t}^{2}}+12t+9=0\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& t=-1\Rightarrow A\left( 0;1;1 \right) \\
& t=-3\Rightarrow A\left( -4;-1;1 \right) \\
\end{aligned} \right.$
Trong đó: $A\left( -4;-1;1 \right)$ thỏa điều kiện $A,E$ khác phía với $\left( Q \right)$. Vậy $A\left( -4;-1;1 \right)$
Đáp án A.
