Google
Câu hỏi: Cho tam giác nhọn $ABC$, biết rằng khi quay tam giác này quanh các cạnh $AB$, $BC$, $CA$ ta lần lượt được các hình tròn xoay có thể tích là $672\pi $, $\dfrac{3136\pi }{5}$, $\dfrac{9408\pi }{13}$.Tính diện tích tam giác $ABC$.
A. $S=1979$.
B. $S=364$.
C. $S=84$.
D. $S=96$.
A. $S=1979$.
B. $S=364$.
C. $S=84$.
D. $S=96$.
Vì tam giác $ABC$ nhọn nên các chân đường cao nằm trong tam giác.
Gọi ${{h}_{a}}$, ${{h}_{b}}$, ${{h}_{c}}$ lần lượt là đường cao từ đỉnh $A$, $B$, $C$ của tam giác $ABC$, và $a$, $b$, $c$ lần lượt là độ dài các cạnh $BC$, $CA$, $AB$.
Khi đó
+ Thể tích khối tròn xoay khi quay tam giác quanh $AB$ là $\dfrac{1}{3}.\pi .{{h}_{c}}^{2}.c=672\pi $.
+ Thể tích khối tròn xoay khi quay tam giác quanh $BC$ là $\dfrac{1}{3}.\pi .{{h}_{a}}^{2}.a=\dfrac{3136\pi }{5}$.
+ Thể tích khối tròn xoay khi quay tam giác quanh $CA$ là $\dfrac{1}{3}.\pi .{{h}_{b}}^{2}.b=\dfrac{9408\pi }{13}$.
Do đó $\left\{ \begin{aligned}
& \dfrac{1}{3}c.h_{c}^{2}=672 \\
& \dfrac{1}{3}a.h_{a}^{2}=\dfrac{3136}{5} \\
& \dfrac{1}{3}b.h_{b}^{2}=\dfrac{9408}{13} \\
\end{aligned} \right.$$\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& \dfrac{4}{3}\dfrac{{{S}^{2}}}{c}=672 \\
& \dfrac{4}{3}\dfrac{{{S}^{2}}}{a}=\dfrac{3136}{5} \\
& \dfrac{4}{3}\dfrac{{{S}^{2}}}{b}=\dfrac{9408}{13} \\
\end{aligned} \right.$$\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& c=\dfrac{4{{S}^{2}}}{3.672} \\
& a=\dfrac{20{{S}^{2}}}{3.3136} \\
& b=\dfrac{52{{S}^{2}}}{3.9408} \\
\end{aligned} \right.$$\Rightarrow \left( a+b+c \right)\left( a+b-c \right)\left( b+c-a \right)\left( c+a-b \right)={{S}^{8}}.\dfrac{1}{{{3}^{4}}}.\dfrac{1}{9408}.\dfrac{1}{28812} $ $ \Leftrightarrow 16{{S}^{2}}={{S}^{8}}.\dfrac{1}{{{3}^{4}}}.\dfrac{1}{9408}.\dfrac{1}{28812} $ $ \Leftrightarrow {{S}^{6}}=16.81.9408.28812 $ $ \Leftrightarrow S=84$.
Gọi ${{h}_{a}}$, ${{h}_{b}}$, ${{h}_{c}}$ lần lượt là đường cao từ đỉnh $A$, $B$, $C$ của tam giác $ABC$, và $a$, $b$, $c$ lần lượt là độ dài các cạnh $BC$, $CA$, $AB$.
Khi đó
+ Thể tích khối tròn xoay khi quay tam giác quanh $AB$ là $\dfrac{1}{3}.\pi .{{h}_{c}}^{2}.c=672\pi $.
+ Thể tích khối tròn xoay khi quay tam giác quanh $BC$ là $\dfrac{1}{3}.\pi .{{h}_{a}}^{2}.a=\dfrac{3136\pi }{5}$.
+ Thể tích khối tròn xoay khi quay tam giác quanh $CA$ là $\dfrac{1}{3}.\pi .{{h}_{b}}^{2}.b=\dfrac{9408\pi }{13}$.
Do đó $\left\{ \begin{aligned}
& \dfrac{1}{3}c.h_{c}^{2}=672 \\
& \dfrac{1}{3}a.h_{a}^{2}=\dfrac{3136}{5} \\
& \dfrac{1}{3}b.h_{b}^{2}=\dfrac{9408}{13} \\
\end{aligned} \right.$$\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& \dfrac{4}{3}\dfrac{{{S}^{2}}}{c}=672 \\
& \dfrac{4}{3}\dfrac{{{S}^{2}}}{a}=\dfrac{3136}{5} \\
& \dfrac{4}{3}\dfrac{{{S}^{2}}}{b}=\dfrac{9408}{13} \\
\end{aligned} \right.$$\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& c=\dfrac{4{{S}^{2}}}{3.672} \\
& a=\dfrac{20{{S}^{2}}}{3.3136} \\
& b=\dfrac{52{{S}^{2}}}{3.9408} \\
\end{aligned} \right.$$\Rightarrow \left( a+b+c \right)\left( a+b-c \right)\left( b+c-a \right)\left( c+a-b \right)={{S}^{8}}.\dfrac{1}{{{3}^{4}}}.\dfrac{1}{9408}.\dfrac{1}{28812} $ $ \Leftrightarrow 16{{S}^{2}}={{S}^{8}}.\dfrac{1}{{{3}^{4}}}.\dfrac{1}{9408}.\dfrac{1}{28812} $ $ \Leftrightarrow {{S}^{6}}=16.81.9408.28812 $ $ \Leftrightarrow S=84$.
Đáp án C.