Google
Câu hỏi: Trong không gian Oxyz, cho tam giác ABC vuông tại $A,\widehat{ABC}=30{}^\circ ,BC=3\sqrt{2}$, đường thẳng BC có phương trình $\dfrac{x-4}{1}=\dfrac{y-5}{1}=\dfrac{z+7}{-4}$, đường thẳng AB nằm trong mặt phẳng $\left( \alpha \right):x+z-3=0$. Biết rằng đỉnh C có cao độ âm. Tính hoành độ của đỉnh A
A. $\dfrac{3}{2}$
B. 3
C. $\dfrac{9}{2}$
D. $\dfrac{5}{2}$
A. $\dfrac{3}{2}$
B. 3
C. $\dfrac{9}{2}$
D. $\dfrac{5}{2}$
Gọi $B\left( b+4;b+5;-4b-7 \right)$ mà $B\in \left( \alpha \right)\Rightarrow b+4-4b-7-3=0\Leftrightarrow b=-2\Rightarrow B\left( 2;3;1 \right)$
Gọi $C\left( c+4;c+5;-4c-7 \right)\Rightarrow \overrightarrow{BC}=\left( c+2;c+2;-4c-8 \right)\Rightarrow BC=\sqrt{18{{\left( c+2 \right)}^{2}}}$
Mà $BC=3\sqrt{2}\Rightarrow {{\left( c+2 \right)}^{2}}=1\Rightarrow c=-1\left( {{z}_{c}}<0 \right)\Rightarrow C\left( 3;4;-3 \right)$
Ta có $\cos \widehat{ABC}=\dfrac{AB}{BC}\Rightarrow AB=BC.\cos \widehat{ABC}=3\sqrt{2}.\cos 30{}^\circ =\dfrac{3\sqrt{6}}{2};AC=\dfrac{3\sqrt{2}}{2}$
Gọi $A\left( x;y;z \right)\Rightarrow \left\{ \begin{aligned}
& A\in \left( \alpha \right) \\
& AB=\dfrac{3\sqrt{6}}{2} \\
& AC=\dfrac{3\sqrt{2}}{2} \\
\end{aligned} \right.\Rightarrow \left\{ \begin{aligned}
& x+z-3=0 \\
& {{\left( x-2 \right)}^{2}}+{{\left( y-3 \right)}^{2}}+{{\left( z-1 \right)}^{2}}=\dfrac{27}{2} \\
& {{\left( x-3 \right)}^{2}}+{{\left( y-4 \right)}^{2}}+{{\left( z+3 \right)}^{2}}=\dfrac{9}{2} \\
\end{aligned} \right.$
Giải hệ, ta được $\left( x;y;z \right)=\left( \dfrac{9}{2};4;-\dfrac{3}{2} \right)$. Vậy điểm A có hoành độ ${{x}_{A}}=\dfrac{9}{2}$.
Gọi $C\left( c+4;c+5;-4c-7 \right)\Rightarrow \overrightarrow{BC}=\left( c+2;c+2;-4c-8 \right)\Rightarrow BC=\sqrt{18{{\left( c+2 \right)}^{2}}}$
Mà $BC=3\sqrt{2}\Rightarrow {{\left( c+2 \right)}^{2}}=1\Rightarrow c=-1\left( {{z}_{c}}<0 \right)\Rightarrow C\left( 3;4;-3 \right)$
Ta có $\cos \widehat{ABC}=\dfrac{AB}{BC}\Rightarrow AB=BC.\cos \widehat{ABC}=3\sqrt{2}.\cos 30{}^\circ =\dfrac{3\sqrt{6}}{2};AC=\dfrac{3\sqrt{2}}{2}$
Gọi $A\left( x;y;z \right)\Rightarrow \left\{ \begin{aligned}
& A\in \left( \alpha \right) \\
& AB=\dfrac{3\sqrt{6}}{2} \\
& AC=\dfrac{3\sqrt{2}}{2} \\
\end{aligned} \right.\Rightarrow \left\{ \begin{aligned}
& x+z-3=0 \\
& {{\left( x-2 \right)}^{2}}+{{\left( y-3 \right)}^{2}}+{{\left( z-1 \right)}^{2}}=\dfrac{27}{2} \\
& {{\left( x-3 \right)}^{2}}+{{\left( y-4 \right)}^{2}}+{{\left( z+3 \right)}^{2}}=\dfrac{9}{2} \\
\end{aligned} \right.$
Giải hệ, ta được $\left( x;y;z \right)=\left( \dfrac{9}{2};4;-\dfrac{3}{2} \right)$. Vậy điểm A có hoành độ ${{x}_{A}}=\dfrac{9}{2}$.
Đáp án C.