Trong không gian Oxyz, cho tam giác ABC vuông tại...

The Knowledge · 13/1/22

Câu hỏi: Trong không gian Oxyz, cho tam giác ABC vuông tại

A, \hat{A B C} = 30^{\circ}, B C = 3 \sqrt{2}

, đường thẳng BC có phương trình

\frac{x - 4}{1} = \frac{y - 5}{1} = \frac{z + 7}{- 4}

, đường thẳng AB nằm trong mặt phẳng

(α) : x + z - 3 = 0

. Biết rằng đỉnh C có cao độ âm. Tính hoành độ của đỉnh A
A.

\frac{3}{2}

B. 3
C.

\frac{9}{2}

D.

\frac{5}{2}

Gọi

B (b + 4; b + 5; - 4 b - 7)

mà

B \in (α) \Rightarrow b + 4 - 4 b - 7 - 3 = 0 \Leftrightarrow b = - 2 \Rightarrow B (2; 3; 1)

Gọi

C (c + 4; c + 5; - 4 c - 7) \Rightarrow \vec{B C} = (c + 2; c + 2; - 4 c - 8) \Rightarrow B C = \sqrt{18 {(c + 2)}^{2}}

Mà

B C = 3 \sqrt{2} \Rightarrow {(c + 2)}^{2} = 1 \Rightarrow c = - 1 (z_{c} < 0) \Rightarrow C (3; 4; - 3)

Ta có

\cos \hat{A B C} = \frac{A B}{B C} \Rightarrow A B = B C . \cos \hat{A B C} = 3 \sqrt{2} . \cos 30^{\circ} = \frac{3 \sqrt{6}}{2}; A C = \frac{3 \sqrt{2}}{2}

Gọi

A (x; y; z) \Rightarrow {\begin{aligned} A \in (α) \\ A B = \frac{3 \sqrt{6}}{2} \\ A C = \frac{3 \sqrt{2}}{2} \end{aligned} \Rightarrow {\begin{aligned} x + z - 3 = 0 \\ {(x - 2)}^{2} + {(y - 3)}^{2} + {(z - 1)}^{2} = \frac{27}{2} \\ {(x - 3)}^{2} + {(y - 4)}^{2} + {(z + 3)}^{2} = \frac{9}{2} \end{aligned}

Giải hệ, ta được

(x; y; z) = (\frac{9}{2}; 4; - \frac{3}{2})

. Vậy điểm A có hoành độ

x_{A} = \frac{9}{2}

.

Đáp án C.