Google
Câu hỏi: Trong không gian Oxyz, cho tam giác ABC với $A\left( 1;2;1 \right),B\left( 3;1;0 \right),C\left( 2;0;2 \right)$. Đường phân giác trong góc A cắt mặt phẳng $\left( Oxz \right)$ tại điểm có tọa độ là
A. $\left( 3;0;2 \right).$
B. $\left( 1;0;2 \right).$
C. $\left( 3;0;1 \right).$
D. $\left( 2;0;1 \right).$
A. $\left( 3;0;2 \right).$
B. $\left( 1;0;2 \right).$
C. $\left( 3;0;1 \right).$
D. $\left( 2;0;1 \right).$
Gọi $\overrightarrow{{{e}_{1}}},\overrightarrow{{{e}_{2}}}$ lần lượt là các vectơ đơn vị của $\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC}$ thì
$\overrightarrow{{{e}_{1}}}=\dfrac{\overrightarrow{AB}}{AB}=\left( \dfrac{2}{\sqrt{6}};-\dfrac{1}{\sqrt{6}};-\dfrac{1}{\sqrt{6}} \right),\overrightarrow{{{e}_{2}}}=\dfrac{\overrightarrow{AC}}{AC}=\left( \dfrac{1}{\sqrt{6}};-\dfrac{2}{\sqrt{6}};\dfrac{1}{\sqrt{6}} \right)$ và $\left| \overrightarrow{{{e}_{1}}} \right|=\left| \overrightarrow{{{e}_{2}}} \right|=1$
Đặt $\overrightarrow{e}=\overrightarrow{{{e}_{1}}}+\overrightarrow{{{e}_{2}}}=\left( \dfrac{3}{\sqrt{6}};-\dfrac{3}{\sqrt{6}};0 \right)=\dfrac{\sqrt{3}}{2}\left( 1;-1;0 \right)$ thì $\overrightarrow{e}$ nằm trên đường phân giác của góc $\widehat{\left( \overrightarrow{{{e}_{1}}},\overrightarrow{{{e}_{2}}} \right)}.$
Khi đó đường phân giác trong góc A của tam giác ABC nhận $\overrightarrow{u}=\left( 1;-1;0 \right)$ làm vectơ chỉ phương.
Phương trình đường phân giác là$\Delta :\left\{ \begin{aligned}
& x=1+t \\
& y=2-t \\
& z=1 \\
\end{aligned} \right..$
Dễ thấy $\Delta $ cắt mặt phẳng $\left( Oxz \right)$ tại điểm $M\left( 3;0;1 \right).$
$\overrightarrow{{{e}_{1}}}=\dfrac{\overrightarrow{AB}}{AB}=\left( \dfrac{2}{\sqrt{6}};-\dfrac{1}{\sqrt{6}};-\dfrac{1}{\sqrt{6}} \right),\overrightarrow{{{e}_{2}}}=\dfrac{\overrightarrow{AC}}{AC}=\left( \dfrac{1}{\sqrt{6}};-\dfrac{2}{\sqrt{6}};\dfrac{1}{\sqrt{6}} \right)$ và $\left| \overrightarrow{{{e}_{1}}} \right|=\left| \overrightarrow{{{e}_{2}}} \right|=1$
Đặt $\overrightarrow{e}=\overrightarrow{{{e}_{1}}}+\overrightarrow{{{e}_{2}}}=\left( \dfrac{3}{\sqrt{6}};-\dfrac{3}{\sqrt{6}};0 \right)=\dfrac{\sqrt{3}}{2}\left( 1;-1;0 \right)$ thì $\overrightarrow{e}$ nằm trên đường phân giác của góc $\widehat{\left( \overrightarrow{{{e}_{1}}},\overrightarrow{{{e}_{2}}} \right)}.$
Khi đó đường phân giác trong góc A của tam giác ABC nhận $\overrightarrow{u}=\left( 1;-1;0 \right)$ làm vectơ chỉ phương.
Phương trình đường phân giác là$\Delta :\left\{ \begin{aligned}
& x=1+t \\
& y=2-t \\
& z=1 \\
\end{aligned} \right..$
Dễ thấy $\Delta $ cắt mặt phẳng $\left( Oxz \right)$ tại điểm $M\left( 3;0;1 \right).$
Đáp án C.