Google
Câu hỏi: Trong không gian $Oxyz$, cho tam giác $ABC$ có $AB=2AC$ với điểm $M\left( 2; 0; 4 \right)$. Biết điểm $B$ thuộc đường thẳng $d:\dfrac{x}{1}=\dfrac{y}{1}=\dfrac{z}{1}$, điểm $C$ thuộc mặt phẳng $\left( P \right):2x+y-z-2=0$ và $AM$ là phân giác trong của tam giác $ABC$ kẻ từ $A$ ( $M\in BC$ ). Phương trình trình đường thẳng $BC$ là
A. $\left\{ \begin{aligned}
& x=2 \\
& y=2-t \\
& z=2+t \\
\end{aligned} \right. $.
B. $ \left\{ \begin{aligned}
& x=2 \\
& y=t \\
& z=4-t \\
\end{aligned} \right. $.
C. $ \left\{ \begin{aligned}
& x=2-t \\
& y=t \\
& z=4+t \\
\end{aligned} \right. $.
D. $ \left\{ \begin{aligned}
& x=-2+2t \\
& y=-2+t \\
& z=-2+3t \\
\end{aligned} \right.$.
Từ giả thiết ta có: $B\in d\Rightarrow B\left( t ; t ; t \right)$. Vì $AM$ là phân giác trong của góc $\widehat{BAC}$ và $AB=2AC$ $\Rightarrow \dfrac{MB}{MC}=\dfrac{AB}{AC}=2$ $\Rightarrow \overrightarrow{MB}=-2\overrightarrow{MC}$ $\left( 1 \right)$.
Ta được $\overrightarrow{MB}=\left( t-2; t; t-4 \right)$ và $\overrightarrow{MC}=\left( {{x}_{C}}-2; {{y}_{C}}; {{z}_{C}}-4 \right)$ thế vào $\left( 1 \right)$ và rút gọn ta được :
$\left\{ \begin{aligned}
& {{x}_{C}}=3-0,5t \\
& {{y}_{C}}=-0,5t \\
& {{z}_{C}}=6-0,5t \\
\end{aligned} \right. $ hay $ C\left( 3-0,5t; -0,5t; 6-0,5t \right)$.
Do $C$ là điểm thuộc $\left( P \right)$ nên $2\left( 3-0,5t \right)+\left( -0,5t \right)-\left( 6-0,5t \right)-2=0$ $\Leftrightarrow -t-2=0\Leftrightarrow t=-2$.
Suy ra $B\left( -2; -2; -2 \right)$.
Đường thẳng $BC$ đi qua điểm $B\left( -2; -2; -2 \right)$ và nhận vectơ $\overrightarrow{BM}=\left( 4; 2; 6 \right)$ hay vectơ $\overrightarrow{u}=\left( 2; 1; 3 \right)$ là một vectơ chỉ phương nên có phương trình là $\left\{ \begin{aligned}
& x=-2+2t \\
& y=-2+t \\
& z=-2+3t \\
\end{aligned} \right.$.
A. $\left\{ \begin{aligned}
& x=2 \\
& y=2-t \\
& z=2+t \\
\end{aligned} \right. $.
B. $ \left\{ \begin{aligned}
& x=2 \\
& y=t \\
& z=4-t \\
\end{aligned} \right. $.
C. $ \left\{ \begin{aligned}
& x=2-t \\
& y=t \\
& z=4+t \\
\end{aligned} \right. $.
D. $ \left\{ \begin{aligned}
& x=-2+2t \\
& y=-2+t \\
& z=-2+3t \\
\end{aligned} \right.$.
Ta được $\overrightarrow{MB}=\left( t-2; t; t-4 \right)$ và $\overrightarrow{MC}=\left( {{x}_{C}}-2; {{y}_{C}}; {{z}_{C}}-4 \right)$ thế vào $\left( 1 \right)$ và rút gọn ta được :
$\left\{ \begin{aligned}
& {{x}_{C}}=3-0,5t \\
& {{y}_{C}}=-0,5t \\
& {{z}_{C}}=6-0,5t \\
\end{aligned} \right. $ hay $ C\left( 3-0,5t; -0,5t; 6-0,5t \right)$.
Do $C$ là điểm thuộc $\left( P \right)$ nên $2\left( 3-0,5t \right)+\left( -0,5t \right)-\left( 6-0,5t \right)-2=0$ $\Leftrightarrow -t-2=0\Leftrightarrow t=-2$.
Suy ra $B\left( -2; -2; -2 \right)$.
Đường thẳng $BC$ đi qua điểm $B\left( -2; -2; -2 \right)$ và nhận vectơ $\overrightarrow{BM}=\left( 4; 2; 6 \right)$ hay vectơ $\overrightarrow{u}=\left( 2; 1; 3 \right)$ là một vectơ chỉ phương nên có phương trình là $\left\{ \begin{aligned}
& x=-2+2t \\
& y=-2+t \\
& z=-2+3t \\
\end{aligned} \right.$.
Đáp án D.