Trong không gian $Oxyz,$ cho tam giác $ABC$ có $A(3;4;4),$...

Ta có $\overrightarrow{BA}(2;2;1),\overrightarrow{BC}(4;-2;-4)\Rightarrow \overrightarrow{BA}.\overrightarrow{BC}=0$ do đó $\mathrm{\Delta }ABC$ vuông tại $B$.
$\Rightarrow$ $BA=3;BC=6$.
Từ giả thiết suy ra $\{\begin{array}{rl}& AB\mathrm{\perp }BC\\ & AB\mathrm{\perp }BM\end{array}\Rightarrow AB\mathrm{\perp }(MBC)$.
Gọi K là hình chiếu của $B$ lên $AC$ nên $(BKN)\mathrm{\perp }AC$ cố định.
Xét $\mathrm{\Delta }ABC$ vuông tại $B$ có đường cao BK:
${\displaystyle \frac{1}{B{K}^2}}={\displaystyle \frac{1}{B{A}^2}}+{\displaystyle \frac{1}{B{C}^2}}={\displaystyle \frac{1}{3^2}}+{\displaystyle \frac{1}{6^2}}={\displaystyle \frac{5}{36}}\Rightarrow$ $BK={\displaystyle \frac{6\sqrt{5}}{5}}$
Ta có $\{\begin{array}{rl}& BN\mathrm{\perp }AM\\ & BN\mathrm{\perp }AC\end{array}\Rightarrow$ $BN\mathrm{\perp }\left(AMC\right)\Rightarrow BN\mathrm{\perp }NK$ suy ra $N$ chạy trên đường tròn đường kính $BK={\displaystyle \frac{6\sqrt{5}}{5}}$.
Trong $\left(BNK\right)$ kẻ $NH\mathrm{\perp }BK\Rightarrow NH\mathrm{\perp }\left(ABC\right)\Rightarrow NH=d(N,\left(ABC\right))$
Trong tam giác vuông $BNK$ có $NH\le {\displaystyle \frac{1}{2}}BK={\displaystyle \frac{3\sqrt{5}}{5}}$.
Phương trình mặt phẳng $(BCM)$ đi qua $B$ và có vecto pháp tuyến $\overrightarrow{BA}(2;2;1)$ có dạng:
$2x+2y+z-9=0$
Tam giác $BNK$ vuông cân tại $N$ nên $BN={\displaystyle \frac{3\sqrt{2}}{\sqrt{5}}}$
Xét $\mathrm{\Delta }ABM$ vuông tại $B$ có đường cao $BN$ :
${\displaystyle \frac{1}{B{M}^2}}={\displaystyle \frac{1}{B{N}^2}}-{\displaystyle \frac{1}{B{A}^2}}={\displaystyle \frac{5}{18}}-{\displaystyle \frac{1}{3^2}}={\displaystyle \frac{1}{6}}\Rightarrow$ $BM=\sqrt{6}$
Gọi $M(a;b;c)$, ta có $\{\begin{array}{rl}& BM=\sqrt{6}\\ & \overrightarrow{AM}.\overrightarrow{CM}=0\\ & M\in \left(BCM\right)\end{array}\iff \{\begin{array}{rl}& {(a-1)}^2+{(b-2)}^2+{(c-3)}^2=6\\ & (a-3)(a-5)+(b-4)b+(c-4)(c+1)=0\\ & 2a+2b+c-9=0\end{array}$
$\iff \{\begin{array}{rl}& a^2+b^2+c^2-2a-4b-6c+8=0\\ & a^2+b^2+c^2-8a-4b-3c+11=0\\ & 2a+2b+c-9=0\end{array}\iff \{\begin{array}{rl}& {(a-1)}^2+{(b-2)}^2+{(c-3)}^2=6\\ & 2a-c-1=0\\ & 2a+2b+c-9=0\end{array}$
$\iff \{\begin{array}{rl}& {(a-1)}^2+{(b-2)}^2+{(c-3)}^2=6\\ & c=2a-1\\ & b=5-2a\end{array}\iff \{\begin{array}{rl}& 9a^2-30a+20=0\\ & c=2a-1\\ & b=5-2a\end{array}$ $\iff \{\begin{array}{rl}& a={\displaystyle \frac{5+\sqrt{5}}{3}}\\ & b={\displaystyle \frac{5+2\sqrt{5}}{3}}\\ & c={\displaystyle \frac{7+2\sqrt{5}}{3}}\end{array}\vee \iff \{\begin{array}{rl}& a={\displaystyle \frac{5-\sqrt{5}}{3}}\\ & b={\displaystyle \frac{5-2\sqrt{5}}{3}}\\ & c={\displaystyle \frac{7-2\sqrt{5}}{3}}\end{array}$.
Vậy khoảng cách từ $N$ đến $(ABC)$ có giá trị lớn nhất bằng ${\displaystyle \frac{3\sqrt{5}}{5}}$
khi $M(a;b;c)$ với $a;b;c$ như trên.