Google
Câu hỏi: Trong không gian Oxyz, cho tam giác ABC có A(2;3;3), phương trình đường trung tuyến kẻ từ B là $\dfrac{x-3}{-1}=\dfrac{y-3}{2}=\dfrac{z-2}{-1}$, phương trình đường phân giác trong của góc C là $\dfrac{x-2}{2}=\dfrac{y-4}{-1}=\dfrac{z-2}{-1}$. Đường thẳng BC có một vectơ chỉ phương là
A. $\overrightarrow{u}=\left( 2;1;-1 \right).$
B. $\overrightarrow{u}=\left( 1;1;0 \right).$
C. $\overrightarrow{u}=\left( 1;-1;0 \right).$
D. $\overrightarrow{u}=\left( 1;2;1 \right).$
Điểm C thuộc đường $CP\Rightarrow $ tọa độ C có dạng:
$C\left( 2+2t;4-t;2-t \right)$ Gọi M trung điểm của
$AC\Rightarrow \left\{ \begin{aligned}
& {{x}_{M}}=\dfrac{{{x}_{A}}+{{x}_{C}}}{2}=t+2 \\
& {{y}_{M}}=\dfrac{{{y}_{A}}+{{y}_{C}}}{2}=\dfrac{7-t}{2} \\
& {{z}_{M}}=\dfrac{{{z}_{A}}+{{z}_{C}}}{2}=\dfrac{5-t}{2} \\
\end{aligned} \right.\Rightarrow M\left( t+2;\dfrac{7-t}{2};\dfrac{5-t}{2} \right)$
Thay tọa độ M vào phương trình đường thẳng BM ta được:
$\dfrac{t+2-3}{-1}=\dfrac{\dfrac{7-t}{2}-3}{2}=\dfrac{\dfrac{5-t}{2}-2}{-1}\Rightarrow \left\{ \begin{aligned}
& 4t-4=t-1 \\
& 2t-2=1-t \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow t=1\Rightarrow C\left( 4;3;1 \right);M\left( 3;3;2 \right)$
Gọi $H\left( 2+2u;4-u;2-u \right)$ là hình chiếu của A trên $CP\Rightarrow \overrightarrow{AH}=\left( 2u;1-u;-1-u \right)$
Ta có: $\overrightarrow{AH}.\overrightarrow{{{u}_{CP}}}=0\Leftrightarrow =4u+u-1+u+1=0\Rightarrow u=0\Rightarrow H\left( 2;4;2 \right)$
Tìm ${A}'$ là đối xứng của A qua $H\Rightarrow {A}'\left( 2;5;1 \right)\in BC$
Véc tơ chỉ phương của đường BC là $\overrightarrow{C{A}'}=\left( -2;2;0 \right)=-2\left( 1;-1;0 \right).$
A. $\overrightarrow{u}=\left( 2;1;-1 \right).$
B. $\overrightarrow{u}=\left( 1;1;0 \right).$
C. $\overrightarrow{u}=\left( 1;-1;0 \right).$
D. $\overrightarrow{u}=\left( 1;2;1 \right).$
Điểm C thuộc đường $CP\Rightarrow $ tọa độ C có dạng:
$C\left( 2+2t;4-t;2-t \right)$ Gọi M trung điểm của
$AC\Rightarrow \left\{ \begin{aligned}
& {{x}_{M}}=\dfrac{{{x}_{A}}+{{x}_{C}}}{2}=t+2 \\
& {{y}_{M}}=\dfrac{{{y}_{A}}+{{y}_{C}}}{2}=\dfrac{7-t}{2} \\
& {{z}_{M}}=\dfrac{{{z}_{A}}+{{z}_{C}}}{2}=\dfrac{5-t}{2} \\
\end{aligned} \right.\Rightarrow M\left( t+2;\dfrac{7-t}{2};\dfrac{5-t}{2} \right)$
Thay tọa độ M vào phương trình đường thẳng BM ta được:
$\dfrac{t+2-3}{-1}=\dfrac{\dfrac{7-t}{2}-3}{2}=\dfrac{\dfrac{5-t}{2}-2}{-1}\Rightarrow \left\{ \begin{aligned}
& 4t-4=t-1 \\
& 2t-2=1-t \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow t=1\Rightarrow C\left( 4;3;1 \right);M\left( 3;3;2 \right)$
Gọi $H\left( 2+2u;4-u;2-u \right)$ là hình chiếu của A trên $CP\Rightarrow \overrightarrow{AH}=\left( 2u;1-u;-1-u \right)$
Ta có: $\overrightarrow{AH}.\overrightarrow{{{u}_{CP}}}=0\Leftrightarrow =4u+u-1+u+1=0\Rightarrow u=0\Rightarrow H\left( 2;4;2 \right)$
Tìm ${A}'$ là đối xứng của A qua $H\Rightarrow {A}'\left( 2;5;1 \right)\in BC$
Véc tơ chỉ phương của đường BC là $\overrightarrow{C{A}'}=\left( -2;2;0 \right)=-2\left( 1;-1;0 \right).$
Đáp án C.