Google
Câu hỏi: Trong không gian $Oxyz$, cho $\overrightarrow{a}=\left( 1;-1;0 \right)$ và hai điểm $A\left( -4;7;3 \right),B\left( 4;4;5 \right)$. Giả sử $M,N$ là hai điểm thay đổi trong mặt phẳng $\left( Oxy \right)$ sao cho $\overrightarrow{MN}$ cùng hướng với $\overrightarrow{a}$ và $MN=5\sqrt{2}.$ Giá trị lớn nhất của $\left| AM-BN \right|$ bằng
A. $\sqrt{17}$
B. $\sqrt{77}$
C. $7\sqrt{2}-3$
D. $\sqrt{82}-5$
A. $\sqrt{17}$
B. $\sqrt{77}$
C. $7\sqrt{2}-3$
D. $\sqrt{82}-5$
HD: Gọi $M\left( x;y;0 \right)$ mà $\overrightarrow{MN}=k\overrightarrow{a}\left( k>0 \right)$ nên $\left\{ \begin{aligned}
& {{x}_{N}}-x=k \\
& {{y}_{N}}-y=-k \\
& {{z}_{N}}=0 \\
\end{aligned} \right.\Rightarrow N\left( x+k;y-k;0 \right)$
Ta có $\overrightarrow{MN}=\left( k;-k;0 \right)\Rightarrow MN=\sqrt{2{{k}^{2}}}=5\sqrt{2}\Rightarrow {{k}^{2}}=25\Rightarrow k=5$
Tịnh tiến điểm $A\left( -4;7;3 \right)$ theo vectơ $\overrightarrow{MN}$, ta được ${A}'\left( 1;2;3 \right)\Rightarrow AM=N{A}'$
Do đó $\left| AM-BN \right|=\left| {A}'N-BN \right|\le {A}'B=\sqrt{17}.$ Dấu bằng xảy ra khi ${A}',B,N$ thẳng hàng.
& {{x}_{N}}-x=k \\
& {{y}_{N}}-y=-k \\
& {{z}_{N}}=0 \\
\end{aligned} \right.\Rightarrow N\left( x+k;y-k;0 \right)$
Ta có $\overrightarrow{MN}=\left( k;-k;0 \right)\Rightarrow MN=\sqrt{2{{k}^{2}}}=5\sqrt{2}\Rightarrow {{k}^{2}}=25\Rightarrow k=5$
Tịnh tiến điểm $A\left( -4;7;3 \right)$ theo vectơ $\overrightarrow{MN}$, ta được ${A}'\left( 1;2;3 \right)\Rightarrow AM=N{A}'$
Do đó $\left| AM-BN \right|=\left| {A}'N-BN \right|\le {A}'B=\sqrt{17}.$ Dấu bằng xảy ra khi ${A}',B,N$ thẳng hàng.
Đáp án A.