Google
Câu hỏi: Trong không gian Oxyz cho $\overrightarrow{a}=\left( 1;-1;0 \right)$ và hai điểm $A\left( -4;7;3 \right),B\left( 4;4;5 \right).$ Giả sử M, N là hai điểm thay đổi trong mặt phẳng $\left( Oxy \right)$ sao cho $\overrightarrow{MN}$ cùng hướng với $\overrightarrow{a}$ và $MN=5\sqrt{2}.$ Giá trị lớn nhất của $\left| AM-BN \right|$ bằng
A. $\sqrt{17}.$
B. $\sqrt{77}.$
C. $7\sqrt{2}-3.$
D. $\sqrt{82}-5.$
A. $\sqrt{17}.$
B. $\sqrt{77}.$
C. $7\sqrt{2}-3.$
D. $\sqrt{82}-5.$
Vì $\overrightarrow{MN}$ cùng hướng với $\overrightarrow{a}\Rightarrow \overrightarrow{MN}=k\overrightarrow{a},$ lại có $MN=5\sqrt{2}\Rightarrow t=5\Rightarrow \overrightarrow{MN}=\left( 5;-5;0 \right).$
Điểm $C\left( m;n;p \right)$ thỏa mãn $\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{MN}\Rightarrow C\left( 1;2;3 \right).$
Hai điểm C, B nằm cùng phía so với mặt $\left( Oxy \right)$ do đều có cao độ dương, và CB không song song với $\left( Oxy \right)$ do cao độ khác nhau, CB cắt $\left( Oxy \right)$ tại một điểm cố định.
Do $AM=CN$ nên $\left| AM-BN \right|=\left| CN-BN \right|\le CB$.
Dấu đẳng thức có khi N là giao điểm của đường thẳng CB và $\left( Oxy \right).$
Kết luận ${{\left| AM-BN \right|}_{\max }}=BC=\sqrt{17}.$
Điểm $C\left( m;n;p \right)$ thỏa mãn $\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{MN}\Rightarrow C\left( 1;2;3 \right).$
Hai điểm C, B nằm cùng phía so với mặt $\left( Oxy \right)$ do đều có cao độ dương, và CB không song song với $\left( Oxy \right)$ do cao độ khác nhau, CB cắt $\left( Oxy \right)$ tại một điểm cố định.
Do $AM=CN$ nên $\left| AM-BN \right|=\left| CN-BN \right|\le CB$.
Dấu đẳng thức có khi N là giao điểm của đường thẳng CB và $\left( Oxy \right).$
Kết luận ${{\left| AM-BN \right|}_{\max }}=BC=\sqrt{17}.$
Đáp án A.