Google
Câu hỏi: Trong không gian Oxyz , cho mặt phẳng $(P):4y-z+3=0$ và hai đường thẳng ${{\Delta }_{1}}=\dfrac{x-1}{1}=\dfrac{y+2}{4}=\dfrac{z-2}{3}$, ${{\Delta }_{2}}=\dfrac{x+4}{5}=\dfrac{y+7}{9}=\dfrac{z}{1}$. Đường thẳng d vuông góc với mặt phẳng (P) và cắt cả hai đường thẳng ${{\Delta }_{1}},{{\Delta }_{2}}$ có phương trình là
A. $\left\{ \begin{aligned}
& x=1 \\
& y=-2+4t \\
& z=2-t \\
\end{aligned} \right.$.
B. $\left\{ \begin{aligned}
& x=2 \\
& y=2+4t \\
& z=5-t \\
\end{aligned} \right.$.
C. $\left\{ \begin{aligned}
& x=6 \\
& y=11+4t \\
& z=2-t \\
\end{aligned} \right.$.
D. $\left\{ \begin{aligned}
& x=-4 \\
& y=-7+4t \\
& z=-t \\
\end{aligned} \right.$.
A. $\left\{ \begin{aligned}
& x=1 \\
& y=-2+4t \\
& z=2-t \\
\end{aligned} \right.$.
B. $\left\{ \begin{aligned}
& x=2 \\
& y=2+4t \\
& z=5-t \\
\end{aligned} \right.$.
C. $\left\{ \begin{aligned}
& x=6 \\
& y=11+4t \\
& z=2-t \\
\end{aligned} \right.$.
D. $\left\{ \begin{aligned}
& x=-4 \\
& y=-7+4t \\
& z=-t \\
\end{aligned} \right.$.
Giả sử đường thẳng d cắt đường thẳng ${{\Delta }_{1}},{{\Delta }_{2}}$ lần lượt tại A, B thì
$A(1+a;-2+4\text{a};2+3\text{a}),B(-4+5b;-7+9b;b)$
$\overrightarrow{AB}=(5b-a-5;9b-4\text{a}-5;b-3\text{a}-2)$.
Vì đường thẳng d vuông góc với mặt phẳng (P) nên véc-tơ $\overrightarrow{AB}$ cùng phương với véc-tơ pháp tuyến của mặt phẳng (P) là $\overrightarrow{n}=(0;4;-1)$
$\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{kn}\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& 5b-a-5=0 \\
& 9b-4\text{a}-5=4k \\
& b-3\text{a}-2=-k \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& 5b-a=5 \\
& 13b-16\text{a}-13=0 \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& a=0 \\
& b=1 \\
\end{aligned} \right.\Rightarrow A(1;-2;2)$
Đường thẳng D qua A(1;-2;2) , có véc-tơ chỉ phương là $\overrightarrow{n}=(0;4;-1)$ nên có phương trình:
$\left\{ \begin{aligned}
& x=-1 \\
& y=-2+4t \\
& z=2-t \\
\end{aligned} \right.$.
$A(1+a;-2+4\text{a};2+3\text{a}),B(-4+5b;-7+9b;b)$
$\overrightarrow{AB}=(5b-a-5;9b-4\text{a}-5;b-3\text{a}-2)$.
Vì đường thẳng d vuông góc với mặt phẳng (P) nên véc-tơ $\overrightarrow{AB}$ cùng phương với véc-tơ pháp tuyến của mặt phẳng (P) là $\overrightarrow{n}=(0;4;-1)$
$\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{kn}\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& 5b-a-5=0 \\
& 9b-4\text{a}-5=4k \\
& b-3\text{a}-2=-k \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& 5b-a=5 \\
& 13b-16\text{a}-13=0 \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& a=0 \\
& b=1 \\
\end{aligned} \right.\Rightarrow A(1;-2;2)$
Đường thẳng D qua A(1;-2;2) , có véc-tơ chỉ phương là $\overrightarrow{n}=(0;4;-1)$ nên có phương trình:
$\left\{ \begin{aligned}
& x=-1 \\
& y=-2+4t \\
& z=2-t \\
\end{aligned} \right.$.
Đáp án A.