Trong không gian $Oxyz$, cho mặt phẳng $\left( P...

Gọi $\left(\mathrm{\Delta }\right)$ là giao tuyến của hai mặt phẳng $\left(P\right)$ và $\left(Q\right)$.
$H$ là hình chiếu vuông góc của $A$ trên mặt phẳng $\left(P\right)$, $K$ là hình chiếu vuông góc của $H$ trên đường thẳng $\left(\mathrm{\Delta }\right)$. Suy ra $AK$ và $HK$ cùng vuông góc $\left(\mathrm{\Delta }\right)$. Hay góc giữa mặt phẳng $\left(P\right)$ và $\left(Q\right)$ là $\widehat{AKH}$.
Đề nhỏ nhất thì $HK$ nhỏ nhất.
Mặt khác $HK\le HM$. Dấu ${}^{″}{=}^{″}$ xảy ra khi $HK=HM$ hay $K\equiv M$.
Khi đó góc giữa $\left(P\right)$ và $\left(Q\right)$ nhỏ nhất khi và chỉ khi $\mathrm{\Delta }\mathrm{\perp }AB$.
Ta có $\left(P\right)$ có véctơ pháp tuyến $\overrightarrow{n}=(8;-4;3)$ và $\overrightarrow{AB}=(4;-2;-5)$. Suy ra véctơ chỉ phương của đường thẳng $\left(\mathrm{\Delta }\right)$ là: $\overrightarrow{u_{\mathrm{\Delta }}}=(1;2;0)$.
Suy ra vectơ pháp tuyến của mặt phẳng $\left(Q\right)$ là $\overrightarrow{n_Q}=[\overrightarrow{AB},\overrightarrow{u_{\mathrm{\Delta }}}]=5(2;-1;2)$.
Phương trình mặt phẳng $\left(Q\right)$ là: $2x-y+2z-3=0$.
Vậy $d(O,\left(Q\right))=1.$