Trong không gian $Oxyz$, cho mặt phẳng $\left( P...

Ta có: $\overrightarrow{AB}=(1;1;-6)$, nên phương trình đường thẳng $AB$ là: $\{\begin{array}{rl}& x=1+t\\ & y=-1+t\\ & z=2-6t\end{array}$.
Mặt khác, hai điểm $A$ và $B$ cùng phía với mặt phẳng $\left(P\right)$. Gọi $\left(Q\right)$ là mặt phẳng song song với $\left(P\right)$ sao cho $d(\left(P\right),\left(Q\right))=\sqrt{6}$ ở vị trí như hình vẽ.
Khi đó, phương trình mặt phẳng $\left(Q\right)$ là: $x+y-2z+4=0$.
Ta có: $M$ thuộc đoạn thẳng $AB$, suy ra $M(1+t;-1+t;2-6t)$, với $t\in [0;1](\ast )$.
Gọi $I(x;y;z)$ là tâm của mặt cầu thoả mãn yêu cầu bài toán, khi đó:$\{\begin{array}{rl}& I\in \left(Q\right)\\ & \overrightarrow{IM}\mathrm{\perp }\overrightarrow{AB}\\ & IM=\sqrt{6}\end{array}$ $\iff \{\begin{array}{rl}& x+y-2z+4=0\\ & 1(1+t-x)+1(-1+t-y)-6(2-6t-z)=0\\ & {(1+t-x)}^2+{(-1+t-y)}^2+{(2-6t-z)}^2=6\end{array}\iff \{\begin{array}{rl}& x+y+19t=0\\ & z={\displaystyle \frac{-19t+4}{2}}\left(1\right)\\ & {(x-1-t)}^2+{(y+1-t)}^2={\displaystyle \frac{24-49t^2}{4}}\left(2\right)\end{array}$.
Tồn tại hai mặt cầu thoả mãn yêu cầu bài toán $\iff$ Hệ $\left(1\right)$ và $\left(2\right)$ có hai nghiệm phân biệt
$\iff \{\begin{array}{rl}& 24-49t^{}>0\\ & {\displaystyle \frac{|1+t-1+t+19t|}{\sqrt{2}}}<\sqrt{{\displaystyle \frac{24-49t^2}{4}}}\end{array}\iff \{\begin{array}{rl}& 24-49t^2>0\\ & t^2<{\displaystyle \frac{24}{931}}\end{array}\iff -\sqrt{{\displaystyle \frac{24}{931}}}<t<\sqrt{{\displaystyle \frac{24}{931}}}$.
Giao với $(\ast )$, ta được: $t\in [0;\sqrt{{\displaystyle \frac{24}{931}}})$.
Ta có: $25a^2+b^2+2c^2=25{(1+t)}^2+{(-1+t)}^2+2{(2-6t)}^2=98t^2+34$.
Xét hàm số $f\left(t\right)=98t^2+34$ trên $[0;\sqrt{{\displaystyle \frac{24}{931}}})$, có $f^{\prime }\left(t\right)=196t>0,\mathrm{\forall }t\in [0;\sqrt{{\displaystyle \frac{24}{931}}})$.
Suy ra: tập giá trị $T=[f\left(0\right);f\left(\sqrt{{\displaystyle \frac{24}{931}}}\right))\Rightarrow T=[34;{\displaystyle \frac{694}{19}})\Rightarrow m=34,n={\displaystyle \frac{694}{19}}$.
Vậy $m+n={\displaystyle \frac{1340}{19}}$.