Trong không gian $Oxyz$, cho mặt phẳng $\left( P...

Ta thấy $A,B$ nằm cùng phía so với mặt phẳng $\left(P\right)$
Gọi $H,K$ lần lượt là hình chiếu vuông góc của $A,B$ lên $\left(P\right)$
Mặt phẳng $\left(P\right)$ có VTPT là $\overrightarrow{n}=(2;-1;1)$
Đường thẳng $AH$ đi qua $A$ và nhận $\overrightarrow{n}$ làm VTCP nên $AH:{\displaystyle \frac{x-2}{2}}={\displaystyle \frac{y+1}{-1}}={\displaystyle \frac{z}{1}}$
Do $H=AH\cap \left(P\right)\Rightarrow H(0;0;-1)\Rightarrow AH=\sqrt{6}$
Đường thẳng $BK$ đi qua $B$ và nhận $\overrightarrow{n}$ làm VTCP nên $BK:{\displaystyle \frac{x-3\sqrt{3}}{2}}={\displaystyle \frac{y}{-1}}={\displaystyle \frac{z+1}{1}}$
Do $K=BK\cap \left(P\right)\Rightarrow K(\sqrt{3};\sqrt{3};-\sqrt{3}-1)\Rightarrow BK=3\sqrt{2}$ và $HK=3$
Đặt $MK=x>0$. Khi đó $MH\le MK+HK=3+x$.
Ta có $T=-MA+7MB=-\sqrt{6+M{H}^2}+7\sqrt{18+M{K}^2}$
$\Rightarrow T\ge -\sqrt{6+{(3+x)}^2}+7\sqrt{18+x^2}=7\sqrt{18+x^2}-\sqrt{x^2+6x+15}$
Xét hàm $f\left(x\right)=7\sqrt{18+x^2}-\sqrt{x^2+6x+15}$ trên $(0;+\mathrm{\infty })$ ; $f^{\prime }\left(x\right)={\displaystyle \frac{7x}{\sqrt{18+x^2}}}-{\displaystyle \frac{x+3}{\sqrt{x^2+6x+15}}}$
$f^{\prime }\left(x\right)=0\iff (2x-1)(4x^3+26x^2+72x+27)=0\iff x={\displaystyle \frac{1}{2}}$.
Bảng biến thiên
Từ bảng biến thiên, suy ra $T_{min}=\underset{(0;+\mathrm{\infty })}{min}f\left(x\right)=f\left({\displaystyle \frac{1}{2}}\right)=3\sqrt{73}$.