Trong không gian $Oxyz$, cho mặt phẳng $\left( P...

Ta thấy $A,B$ nằm cùng phía so với mặt phẳng $\left( P \right)$
Gọi $H,K$ lần lượt là hình chiếu vuông góc của $A,B$ lên $\left( P \right)$
Mặt phẳng $\left( P \right)$ có VTPT là $\overrightarrow{n}=\left( 2;-1;1 \right)$
Đường thẳng $AH$ đi qua $A$ và nhận $\overrightarrow{n}$ làm VTCP nên $AH: \dfrac{x-2}{2}=\dfrac{y+1}{-1}=\dfrac{z}{1}$
Do $H=AH\cap \left( P \right)\Rightarrow H\left( 0;0;-1 \right)\Rightarrow AH=\sqrt{6}$
Đường thẳng $BK$ đi qua $B$ và nhận $\overrightarrow{n}$ làm VTCP nên $BK: \dfrac{x-3\sqrt{3}}{2}=\dfrac{y}{-1}=\dfrac{z+1}{1}$
Do $K=BK\cap \left( P \right)\Rightarrow K\left( \sqrt{3};\sqrt{3};-\sqrt{3}-1 \right)\Rightarrow BK=3\sqrt{2}$ và $HK=3$
Đặt $MK=x>0$. Khi đó $MH\le MK+HK=3+x$.
Ta có $T=-MA+7MB=-\sqrt{6+M{{H}^{2}}}+7\sqrt{18+M{{K}^{2}}}$
$\Rightarrow T\ge -\sqrt{6+{{\left( 3+x \right)}^{2}}}+7\sqrt{18+{{x}^{2}}}=7\sqrt{18+{{x}^{2}}}-\sqrt{{{x}^{2}}+6x+15}$
Xét hàm $f\left( x \right)=7\sqrt{18+{{x}^{2}}}-\sqrt{{{x}^{2}}+6x+15}$ trên $\left( 0;+\infty \right)$ ; ${f}'\left( x \right)=\dfrac{7x}{\sqrt{18+{{x}^{2}}}}-\dfrac{x+3}{\sqrt{{{x}^{2}}+6x+15}}$
${f}'\left( x \right)=0\Leftrightarrow \left( 2x-1 \right)\left( 4{{x}^{3}}+26{{x}^{2}}+72x+27 \right)=0\Leftrightarrow x=\dfrac{1}{2}$.
Bảng biến thiên
Từ bảng biến thiên, suy ra ${{T}_{\min }}=\underset{\left( 0;+\infty \right)}{\mathop{\min }} f\left( x \right)=f\left( \dfrac{1}{2} \right)=3\sqrt{73}$.