Google
Câu hỏi: Trong không gian $Oxyz$, cho mặt phẳng $\left( P \right):x-2y+2z=0$ và ba điểm $A\left( 2; 0; 2 \right), B\left( 4; 0; 4 \right)$, $C\left( 5; 2; 4 \right)$. Gọi $M$ là điểm di động trên $\left( P \right)$ sao cho có một mặt cầu $\left( S \right)$ đi qua $A, B$ và tiếp xúc với $\left( P \right)$ tại $M$. Khi đó, độ dài đoạn $CM$ có giá trị nhỏ nhất là
A. $3$.
B. $\sqrt{10}$.
C. $\sqrt{109}$.
D. $\sqrt{13}$.
Gọi $H$ là hình chiếu của $C$ lên $mp\left( P \right)\Rightarrow H\left( 4; 4; 2 \right)$.
Đường thẳng $AB:\left\{ \begin{aligned}
& x=2+t \\
& y=0 \\
& z=2+t \\
\end{aligned} \right. $ $ \Rightarrow AB\cap \left( P \right)=\left\{ O \right\}$.
Ta có: $O{{M}^{2}}=OA.OB=2\sqrt{2}.4\sqrt{2}=16\Rightarrow OM=4$ và $OH=6$.
$MC=\sqrt{9+M{{H}^{2}}}\to M{{C}_{\min }}\Leftrightarrow M{{H}_{\min }}\Leftrightarrow MH=OH-OM=2$.
Vậy $C{{M}_{\min }}=\sqrt{13}.$
A. $3$.
B. $\sqrt{10}$.
C. $\sqrt{109}$.
D. $\sqrt{13}$.
Gọi $H$ là hình chiếu của $C$ lên $mp\left( P \right)\Rightarrow H\left( 4; 4; 2 \right)$.
Đường thẳng $AB:\left\{ \begin{aligned}
& x=2+t \\
& y=0 \\
& z=2+t \\
\end{aligned} \right. $ $ \Rightarrow AB\cap \left( P \right)=\left\{ O \right\}$.
Ta có: $O{{M}^{2}}=OA.OB=2\sqrt{2}.4\sqrt{2}=16\Rightarrow OM=4$ và $OH=6$.
$MC=\sqrt{9+M{{H}^{2}}}\to M{{C}_{\min }}\Leftrightarrow M{{H}_{\min }}\Leftrightarrow MH=OH-OM=2$.
Vậy $C{{M}_{\min }}=\sqrt{13}.$
Đáp án D.