Google
Câu hỏi: Trong không gian $Oxyz$, cho mặt phẳng $\left( P \right):x+y-2z+2=0$ và hai điểm $A\left( 2,-4,0 \right),B\left( 4,2,-2 \right)$. Tập hợp các điểm $M$ thuộc mặt phẳng $(P)$ sao cho góc giữa $MA$ và $MB$ bằng $90{}^\circ $ là một đường tròn có diện tích bằng
A. $5\pi $.
B. $17\pi $.
C. $38\pi $.
D. $11\pi $.
Góc giữa $MA$ và $MB$ bằng $90{}^\circ $ khi và chỉ khi $\widehat{AMB}=90{}^\circ $, do đó tập hợp điểm $M$ là mặt cầu tâm $I(3,-1,-1)$ là trung điểm của $AB$ và bán kính $R=\dfrac{AB}{2}=\dfrac{\sqrt{44}}{2}=\sqrt{11}$.
Vì $M\in (P)$ và $M\in (S)$ nên $M$ nằm trên đường tròn giao tuyến của $(P)$ và $(S)$.
Ta có: $d=d(I,(P))=\dfrac{\left| 3-1+2+2 \right|}{\sqrt{6}}=\sqrt{6}$.
Bán kính đường tròn giao tuyến là $r=\sqrt{{{R}^{2}}-{{d}^{2}}}=\sqrt{11-6}=\sqrt{5}$
Diện tích đường tròn cần tìm là: $S=\pi {{r}^{2}}=5\pi $.
A. $5\pi $.
B. $17\pi $.
C. $38\pi $.
D. $11\pi $.
Góc giữa $MA$ và $MB$ bằng $90{}^\circ $ khi và chỉ khi $\widehat{AMB}=90{}^\circ $, do đó tập hợp điểm $M$ là mặt cầu tâm $I(3,-1,-1)$ là trung điểm của $AB$ và bán kính $R=\dfrac{AB}{2}=\dfrac{\sqrt{44}}{2}=\sqrt{11}$.
Vì $M\in (P)$ và $M\in (S)$ nên $M$ nằm trên đường tròn giao tuyến của $(P)$ và $(S)$.
Ta có: $d=d(I,(P))=\dfrac{\left| 3-1+2+2 \right|}{\sqrt{6}}=\sqrt{6}$.
Bán kính đường tròn giao tuyến là $r=\sqrt{{{R}^{2}}-{{d}^{2}}}=\sqrt{11-6}=\sqrt{5}$
Diện tích đường tròn cần tìm là: $S=\pi {{r}^{2}}=5\pi $.
Đáp án A.