Google
Câu hỏi: Trong không gian $Oxyz$, cho mặt phẳng $\left( P \right):x-y+z-1=0$ và đường thẳng ${{d}_{1}}:\dfrac{x-1}{2}=\dfrac{y}{1}=\dfrac{z}{3}$. Gọi ${{d}_{1}}^{\prime }$ là hình chiếu vuông góc của ${{d}_{1}}$ lên mặt phẳng $\left( P \right)$. Đường thẳng ${{d}_{2}}$ nằm trên $\left( P \right)$ tạo với ${{d}_{1}} , {{d}_{1}}^{\prime }$ các góc bằng nhau, ${{d}_{2}}$ có vectơ chỉ phương $\overrightarrow{u}\left( a ; b ; c \right)$. Giá trị biểu thức $\dfrac{3a-b}{c}$ bằng
A. $\dfrac{11}{3}$
B. $-\dfrac{11}{3}$
C. $4$
D. $-\dfrac{13}{3}$
A. $\dfrac{11}{3}$
B. $-\dfrac{11}{3}$
C. $4$
D. $-\dfrac{13}{3}$
Đường thẳng ${{d}_{1}}$ có vectơ chỉ phương là $\overrightarrow{{{u}_{1}}}\left( 2 ; 1 ; 3 \right)$, mặt phẳng $\left( P \right)$ có vec tơ pháp tuyến là $\overrightarrow{{{n}_{1}}}\left( 1 ; -1 ; 1 \right)$.
Tọa độ giao điểm $C$ của ${{d}_{1}}$ và $\left( P \right)$ là: $C\left( 1 ; 0 ; 0 \right)$.
Vectơ chỉ phương của đường thẳng ${{d}_{1}}^{\prime }$ là $\overrightarrow{{{u}_{2}}}=-\left[ \left[ \overrightarrow{{{u}_{1}} },\overrightarrow{{{n}_{1}}} \right],\overrightarrow{{{n}_{1}}} \right]=\left( 2 ; 7 ; 5 \right)$.
${{d}_{2}}$ nằm trên $\left( P \right)$ tạo với ${{d}_{1}} , {{d}_{1}}^{\prime }$ các góc bằng nhau nên ta có
$\left\{ \begin{aligned}
& \overrightarrow{u}.\overrightarrow{{{n}_{1}}}=0 \\
& \dfrac{\left| \overrightarrow{u}.\overrightarrow{{{u}_{1}}} \right|}{\left| \overrightarrow{u} \right|.\left| \overrightarrow{{{u}_{1}}} \right|}=\dfrac{\left| \overrightarrow{u}.\overrightarrow{{{u}_{2}}} \right|}{\left| \overrightarrow{u} \right|.\left| \overrightarrow{{{u}_{2}}} \right|} \\
\end{aligned} \right. $ $ \Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& a+c=b \\
& \dfrac{\left| 2a+b+3c \right|}{\sqrt{14}}=\dfrac{\left| 2a+7b+5c \right|}{\sqrt{78}} \\
\end{aligned} \right.$.
$\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& a+c=b \\
& \dfrac{\left| 3a+4c \right|}{\sqrt{14}}=\dfrac{\left| 9a+12c \right|}{\sqrt{78}} \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& a+c=b \\
& 3a+4c=0 \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& a=-\dfrac{4}{3}c \\
& b=-\dfrac{1}{3}c \\
\end{aligned} \right. $Vậy $ \dfrac{3a-b}{c}=-\dfrac{11}{3}$.
Tọa độ giao điểm $C$ của ${{d}_{1}}$ và $\left( P \right)$ là: $C\left( 1 ; 0 ; 0 \right)$.
Vectơ chỉ phương của đường thẳng ${{d}_{1}}^{\prime }$ là $\overrightarrow{{{u}_{2}}}=-\left[ \left[ \overrightarrow{{{u}_{1}} },\overrightarrow{{{n}_{1}}} \right],\overrightarrow{{{n}_{1}}} \right]=\left( 2 ; 7 ; 5 \right)$.
${{d}_{2}}$ nằm trên $\left( P \right)$ tạo với ${{d}_{1}} , {{d}_{1}}^{\prime }$ các góc bằng nhau nên ta có
$\left\{ \begin{aligned}
& \overrightarrow{u}.\overrightarrow{{{n}_{1}}}=0 \\
& \dfrac{\left| \overrightarrow{u}.\overrightarrow{{{u}_{1}}} \right|}{\left| \overrightarrow{u} \right|.\left| \overrightarrow{{{u}_{1}}} \right|}=\dfrac{\left| \overrightarrow{u}.\overrightarrow{{{u}_{2}}} \right|}{\left| \overrightarrow{u} \right|.\left| \overrightarrow{{{u}_{2}}} \right|} \\
\end{aligned} \right. $ $ \Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& a+c=b \\
& \dfrac{\left| 2a+b+3c \right|}{\sqrt{14}}=\dfrac{\left| 2a+7b+5c \right|}{\sqrt{78}} \\
\end{aligned} \right.$.
$\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& a+c=b \\
& \dfrac{\left| 3a+4c \right|}{\sqrt{14}}=\dfrac{\left| 9a+12c \right|}{\sqrt{78}} \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& a+c=b \\
& 3a+4c=0 \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& a=-\dfrac{4}{3}c \\
& b=-\dfrac{1}{3}c \\
\end{aligned} \right. $Vậy $ \dfrac{3a-b}{c}=-\dfrac{11}{3}$.
Đáp án B.