Google
Câu hỏi: Trong không gian $Oxyz$, cho mặt phẳng $\left( P \right):x-y-2z+4=0$ và đường thẳng $\Delta :\dfrac{x-4}{2}=\dfrac{y+2}{-1}=\dfrac{z-4}{1}$. Đường thẳng $d$ đi qua điểm $A\left( 2 ; -1 ; 3 \right)$, cắt mặt phẳng $\left( P \right)$ và đường thẳng $\Delta $ lần lượt tại $M, N$ sao cho $N$ là trung điểm của $AM$ có phương trình là
A. $\left\{ \begin{aligned}
& x=2+t \\
& y=-1-2t \\
& z=3+2t \\
\end{aligned} \right. $.
B. $ \left\{ \begin{aligned}
& x=2+t \\
& y=-1-t \\
& z=3-2t \\
\end{aligned} \right. $.
C. $ \left\{ \begin{aligned}
& x=2+2t \\
& y=-1-t \\
& z=3+t \\
\end{aligned} \right. $.
D. $ \left\{ \begin{aligned}
& x=2-t \\
& y=-1+2t \\
& z=3+2t \\
\end{aligned} \right.$.
A. $\left\{ \begin{aligned}
& x=2+t \\
& y=-1-2t \\
& z=3+2t \\
\end{aligned} \right. $.
B. $ \left\{ \begin{aligned}
& x=2+t \\
& y=-1-t \\
& z=3-2t \\
\end{aligned} \right. $.
C. $ \left\{ \begin{aligned}
& x=2+2t \\
& y=-1-t \\
& z=3+t \\
\end{aligned} \right. $.
D. $ \left\{ \begin{aligned}
& x=2-t \\
& y=-1+2t \\
& z=3+2t \\
\end{aligned} \right.$.
$N\in \Delta \Rightarrow N\left( 2t+4 ; -t-2 ; t+4 \right)$ ; $N$ là trung điểm của $AM$ $\Rightarrow M\left( 4t+6 ; -2t-3 ; 2t+5 \right)$.
$M\in \left( P \right)$ $\Leftrightarrow 4t+6+2t+3-4t-6=0$ $\Leftrightarrow t=-\dfrac{3}{2}$ $\Rightarrow N\left( 1 ; -\dfrac{1}{2} ; \dfrac{5}{2} \right)$.
Vậy $d$ đi qua hai điểm $A\left( 2 ; -1 ; 3 \right)$, $N\left( 1 ; -\dfrac{1}{2} ; \dfrac{5}{2} \right)$ nên có vectơ chỉ phương là $\overrightarrow{NA}\left( 1 ; -\dfrac{1}{2} ; \dfrac{1}{2} \right)$ hay $\overrightarrow{u}\left( 2 ; -1 ; 1 \right)$. Vậy $d:\left\{ \begin{aligned}
& x=2+2t \\
& y=-1-t \\
& z=3+t \\
\end{aligned} \right.$.
$M\in \left( P \right)$ $\Leftrightarrow 4t+6+2t+3-4t-6=0$ $\Leftrightarrow t=-\dfrac{3}{2}$ $\Rightarrow N\left( 1 ; -\dfrac{1}{2} ; \dfrac{5}{2} \right)$.
Vậy $d$ đi qua hai điểm $A\left( 2 ; -1 ; 3 \right)$, $N\left( 1 ; -\dfrac{1}{2} ; \dfrac{5}{2} \right)$ nên có vectơ chỉ phương là $\overrightarrow{NA}\left( 1 ; -\dfrac{1}{2} ; \dfrac{1}{2} \right)$ hay $\overrightarrow{u}\left( 2 ; -1 ; 1 \right)$. Vậy $d:\left\{ \begin{aligned}
& x=2+2t \\
& y=-1-t \\
& z=3+t \\
\end{aligned} \right.$.
Đáp án C.