Google
Câu hỏi: . Trong không gian Oxyz, cho mặt phẳng $\left( P \right):2x+2y-z+9=0$ và điểm $A\left( 1;2;-3 \right).$ Đường thẳng d đi qua A và có vectơ chỉ phương $\vec{u}=\left( 3;4;-4 \right)$ cắt (P) tại B. Điểm M thay đổi trên (P) sao cho M luôn nhìn đoạn AB dưới một góc ${{90}^{0}}$. Độ dài đoạn MB lớn nhất bằng
A. $\dfrac{36}{\sqrt{5}}.$
B. $\sqrt{41}.$
C. 6.
D. $\sqrt{5}.$
Ta có đường thẳng $d:x=1+3t;y=2+4t;z=-3-4t$. Đường thẳng $d$ cắt $\left( P \right)$ tại $B\left( -2;-2;1 \right)$.
Gọi ${A}'$ là hình chiếu của $\left( A \right)$ lên $\left( P \right)$ thì $A{A}':y=1+2t;y=2+2t;z=-3-t$.
Suy ra ${A}'\left( -3;-2;-1 \right)$. Theo định lí Pitago kết hợp $AM\ge A{A}'$ ta có
$M{{A}^{2}}+M{{B}^{2}}=A{{B}^{2}}\Rightarrow M{{B}^{2}}=A{{B}^{2}}-M{{A}^{2}}\le A{{B}^{2}}-{A}'{{A}^{2}}={A}'{{B}^{2}}$
Dấu đẳng thức xảy ra khi $M\equiv {A}'\Rightarrow MB={A}'B=\sqrt{5}$.
A. $\dfrac{36}{\sqrt{5}}.$
B. $\sqrt{41}.$
C. 6.
D. $\sqrt{5}.$
Ta có đường thẳng $d:x=1+3t;y=2+4t;z=-3-4t$. Đường thẳng $d$ cắt $\left( P \right)$ tại $B\left( -2;-2;1 \right)$.
Gọi ${A}'$ là hình chiếu của $\left( A \right)$ lên $\left( P \right)$ thì $A{A}':y=1+2t;y=2+2t;z=-3-t$.
Suy ra ${A}'\left( -3;-2;-1 \right)$. Theo định lí Pitago kết hợp $AM\ge A{A}'$ ta có
$M{{A}^{2}}+M{{B}^{2}}=A{{B}^{2}}\Rightarrow M{{B}^{2}}=A{{B}^{2}}-M{{A}^{2}}\le A{{B}^{2}}-{A}'{{A}^{2}}={A}'{{B}^{2}}$
Dấu đẳng thức xảy ra khi $M\equiv {A}'\Rightarrow MB={A}'B=\sqrt{5}$.
Đáp án D.