Google
Câu hỏi: Trong không gian Oxyz, cho mặt phẳng $\left( P \right):3\text{x}-3y+2\text{z}-15=0$ và ba điểm $A\left( 1;2;0 \right)$, $B\left( 1;-1;3 \right),C\left( 1;-1;-1 \right)$. Điểm $M\left( {{x}_{0}};{{y}_{0}};{{z}_{0}} \right)$ thuộc $\left( P \right)$ sao cho $2M{{A}^{2}}-M{{B}^{2}}+M{{C}^{2}}$ nhỏ nhất. Giá trị $2{{\text{x}}_{0}}+3{{y}_{0}}+{{z}_{0}}$ bằng
A. 11
B. 5
C. 15
D. 10
A. 11
B. 5
C. 15
D. 10
Xét điểm I thỏa $2\overrightarrow{IA}-\overrightarrow{IB}+\overrightarrow{IC}=\overrightarrow{0}$ suy ra $I\left( 1;2;-2 \right)$.
$2M{{A}^{2}}-M{{B}^{2}}+M{{C}^{2}}=2{{\left( \overrightarrow{MI}+\overrightarrow{IA} \right)}^{2}}-{{\left( \overrightarrow{MI}+\overrightarrow{IB} \right)}^{2}}+{{\left( \overrightarrow{MI}+\overrightarrow{IC} \right)}^{2}}=2M{{I}^{2}}+2I{{A}^{2}}-I{{B}^{2}}+I{{C}^{2}}$.
$2M{{A}^{2}}-M{{B}^{2}}+M{{C}^{2}}$ nhỏ nhất khi và chỉ khi MI nhỏ nhất hay M là hình chiếu của I lên $\left( P \right)$.
Lúc đó, đường thẳng MI có phương trình $\left\{ \begin{aligned}
& x=1+3t \\
& y=2-3t \\
& z=-2+2t \\
\end{aligned} \right. $ suy ra $ \left\{ \begin{aligned}
& {{x}_{0}}=1+3t \\
& {{y}_{0}}=2-3t \\
& {{z}_{0}}=-2+2t \\
\end{aligned} \right.$.
Mà $3{{\text{x}}_{0}}-3{{y}_{0}}+2{{\text{z}}_{0}}-15=0\Leftrightarrow 3\left( 1+3t \right)-3\left( 2-3t \right)+2\left( -2+2t \right)-15=0\Leftrightarrow t=1$.
Vậy $2{{\text{x}}_{0}}+3{{y}_{0}}+{{z}_{0}}=2\left( 1+3t \right)+3\left( 2-3t \right)+\left( -2+2t \right)=6-t=5$.
$2M{{A}^{2}}-M{{B}^{2}}+M{{C}^{2}}=2{{\left( \overrightarrow{MI}+\overrightarrow{IA} \right)}^{2}}-{{\left( \overrightarrow{MI}+\overrightarrow{IB} \right)}^{2}}+{{\left( \overrightarrow{MI}+\overrightarrow{IC} \right)}^{2}}=2M{{I}^{2}}+2I{{A}^{2}}-I{{B}^{2}}+I{{C}^{2}}$.
$2M{{A}^{2}}-M{{B}^{2}}+M{{C}^{2}}$ nhỏ nhất khi và chỉ khi MI nhỏ nhất hay M là hình chiếu của I lên $\left( P \right)$.
Lúc đó, đường thẳng MI có phương trình $\left\{ \begin{aligned}
& x=1+3t \\
& y=2-3t \\
& z=-2+2t \\
\end{aligned} \right. $ suy ra $ \left\{ \begin{aligned}
& {{x}_{0}}=1+3t \\
& {{y}_{0}}=2-3t \\
& {{z}_{0}}=-2+2t \\
\end{aligned} \right.$.
Mà $3{{\text{x}}_{0}}-3{{y}_{0}}+2{{\text{z}}_{0}}-15=0\Leftrightarrow 3\left( 1+3t \right)-3\left( 2-3t \right)+2\left( -2+2t \right)-15=0\Leftrightarrow t=1$.
Vậy $2{{\text{x}}_{0}}+3{{y}_{0}}+{{z}_{0}}=2\left( 1+3t \right)+3\left( 2-3t \right)+\left( -2+2t \right)=6-t=5$.
Đáp án B.