Trong không gian $Oxyz$, cho mặt phẳng $\left( P \right) ...

Gọi $I$ là điểm thỏa mãn: $\overrightarrow{IA}+2\overrightarrow{IB}=\overrightarrow{0}$ $\Rightarrow $ Tọa độ điểm $I\left( 2;-1;0 \right)$.
Ta có: $T=M{{A}^{2}}+2M{{B}^{2}}$ $={{\left( \overrightarrow{MI}+\overrightarrow{IA} \right)}^{2}}+2{{\left( \overrightarrow{MI}+\overrightarrow{IB} \right)}^{2}}$ $=3{{\overrightarrow{MI}}^{2}}+\left( {{\overrightarrow{IA}}^{2}}+2{{\overrightarrow{IB}}^{2}} \right)+2\overrightarrow{MI}.\left( \overrightarrow{IA}+2\overrightarrow{IB} \right)$
$=3{{\overrightarrow{MI}}^{2}}+\left( {{\overrightarrow{IA}}^{2}}+2{{\overrightarrow{IB}}^{2}} \right)$ (Vì $2\overrightarrow{MI}.\left( \overrightarrow{IA}+2\overrightarrow{IB} \right)$ $=2\overrightarrow{MI}.\overrightarrow{0}=0$ ).
Vì $\left( {{\overrightarrow{IA}}^{2}}+2{{\overrightarrow{IB}}^{2}} \right)$ không đổi nên $T=M{{A}^{2}}+2M{{B}^{2}}$ nhỏ nhất khi $M\equiv H$ là hình chiếu của $I$ lên mặt phẳng $\left( P \right)$.
Gọi $\Delta $ là đường thẳng qua $I\left( 2;-1;0 \right)$ và vuông góc với mặt phẳng $\left( P \right) : 2x-y+z+1=0$ nên phương trình của $\Delta $ là: $ \left\{ \begin{aligned}
& x=2+2t \\
& y=-1-t \\
& z=t \\
\end{aligned} \right.$.
$\Rightarrow H=\Delta \cap \left( P \right)$, nên tọa độ của $H$ thỏa mãn: $\left\{ \begin{aligned}
& 2x-y+z+1=0 \\
& x=2+2t \\
& y=-1-t \\
& z=t \\
\end{aligned} \right.$.
$\Rightarrow $ $2\left( 2+2t \right)-\left( -1-t \right)+t+1=0$ $\Leftrightarrow t=-1$.
$\Rightarrow $ Tọa độ điểm $H=\left( 0;0;-1 \right)$. Vậy $a+b+c=-1$.