Google
Câu hỏi: Trong không gian $Oxyz$ cho mặt phẳng $\left( P \right):y-1=0$, đường thẳng $d:\left\{ \begin{aligned}
& x=1 \\
& y=2-t \\
& z=1 \\
\end{aligned} \right. $ và hai điểm $ A\left( -1;-3;11 \right) $, $ B\left( \dfrac{1}{2};0;8 \right) $. Hai điểm $ M $, $ N $ thuộc mặt phẳng $ \left( P \right) $ sao cho $ d\left( M,d \right)=2 $ và $ NA=2NB $. Tìm giá trị nhỏ nhất của đoạn $ MN$.
A. $M{{N}_{\min }}=1$.
B. $M{{N}_{\min }}=\sqrt{2}$.
C. $M{{N}_{\min }}=\dfrac{\sqrt{2}}{2}$.
D. $M{{N}_{\min }}=\dfrac{2}{3}.$
& x=1 \\
& y=2-t \\
& z=1 \\
\end{aligned} \right. $ và hai điểm $ A\left( -1;-3;11 \right) $, $ B\left( \dfrac{1}{2};0;8 \right) $. Hai điểm $ M $, $ N $ thuộc mặt phẳng $ \left( P \right) $ sao cho $ d\left( M,d \right)=2 $ và $ NA=2NB $. Tìm giá trị nhỏ nhất của đoạn $ MN$.
A. $M{{N}_{\min }}=1$.
B. $M{{N}_{\min }}=\sqrt{2}$.
C. $M{{N}_{\min }}=\dfrac{\sqrt{2}}{2}$.
D. $M{{N}_{\min }}=\dfrac{2}{3}.$
$V=\dfrac{\sqrt{2}{{a}^{3}}}{24}\cdot $
$I\in \left( P \right)\Rightarrow 2-t-1=0\Rightarrow t=1\Rightarrow I\left( 1;1;1 \right)$
Ta có $d\bot \left( P \right)\Rightarrow M$ thuộc đường tròn tâm $I\left( 1;1;1 \right),{{R}_{1}}=2$.
$\begin{aligned}
& N\left( x;y;z \right)\Rightarrow \overrightarrow{NA}\left( -1-x;-3-y;11-z \right);\overrightarrow{NB}\left( \dfrac{1}{2}-x;-y;8-z \right) \\ s
& NA=2NB\Leftrightarrow {{\left( 1+x \right)}^{2}}+{{\left( 3+y \right)}^{2}}+{{\left( 11-z \right)}^{2}}=4\left[ {{\left( \dfrac{1}{2}-x \right)}^{2}}+{{y}^{2}}+{{\left( 8-z \right)}^{2}} \right] \\
& \Leftrightarrow 3{{x}^{2}}+3{{y}^{2}}+3{{z}^{2}}-6x-6y-42z+126=0 \\
& \Leftrightarrow {{x}^{2}}+{{y}^{2}}+{{z}^{2}}-2x-2y-14z+42=0 \\
\end{aligned}$
Vậy $N\in S\left( J\left( 1;1;7 \right);{{R}_{2}}=3 \right)$ và $J\in \left( P \right):y=1$
Nên $N$ thuộc đường tròn tâm $J\left( 1;1;7 \right);{{R}_{2}}=3$
Ta có $\text{IJ}=6>{{R}_{1}}+{{R}_{2}}\Rightarrow M{{N}_{\min }}=\text{IJ}-{{R}_{1}}-{{R}_{2}}=1$
Gọi $I=d\cap \left( P \right)\Rightarrow I\left( 1;2-t;1 \right)$ $I\in \left( P \right)\Rightarrow 2-t-1=0\Rightarrow t=1\Rightarrow I\left( 1;1;1 \right)$
Ta có $d\bot \left( P \right)\Rightarrow M$ thuộc đường tròn tâm $I\left( 1;1;1 \right),{{R}_{1}}=2$.
$\begin{aligned}
& N\left( x;y;z \right)\Rightarrow \overrightarrow{NA}\left( -1-x;-3-y;11-z \right);\overrightarrow{NB}\left( \dfrac{1}{2}-x;-y;8-z \right) \\ s
& NA=2NB\Leftrightarrow {{\left( 1+x \right)}^{2}}+{{\left( 3+y \right)}^{2}}+{{\left( 11-z \right)}^{2}}=4\left[ {{\left( \dfrac{1}{2}-x \right)}^{2}}+{{y}^{2}}+{{\left( 8-z \right)}^{2}} \right] \\
& \Leftrightarrow 3{{x}^{2}}+3{{y}^{2}}+3{{z}^{2}}-6x-6y-42z+126=0 \\
& \Leftrightarrow {{x}^{2}}+{{y}^{2}}+{{z}^{2}}-2x-2y-14z+42=0 \\
\end{aligned}$
Vậy $N\in S\left( J\left( 1;1;7 \right);{{R}_{2}}=3 \right)$ và $J\in \left( P \right):y=1$
Nên $N$ thuộc đường tròn tâm $J\left( 1;1;7 \right);{{R}_{2}}=3$
Ta có $\text{IJ}=6>{{R}_{1}}+{{R}_{2}}\Rightarrow M{{N}_{\min }}=\text{IJ}-{{R}_{1}}-{{R}_{2}}=1$
Đáp án A.