Google
Câu hỏi: Trong không gian Oxyz, cho mặt phẳng $\left( P \right):x+y-z-3=0$ và hai điểm $A\left( 1;1;1 \right)$, $B\left( -3;-3;-3 \right)$. Mặt cầu $\left( S \right)$ đi qua hai điểm $A,B$ và tiếp xúc với (P) tại điểm C. Biết rằng C luôn thuộc một đường tròn cố định. Tính bán kính R của đường tròn đó.
A. $R=4.$
B. $R=6.$
C. $R=\dfrac{2\sqrt{33}}{3}$
D. $R=\dfrac{2\sqrt{11}}{3}$
A. $R=4.$
B. $R=6.$
C. $R=\dfrac{2\sqrt{33}}{3}$
D. $R=\dfrac{2\sqrt{11}}{3}$
Gọi $I=AB\cap \left( P \right)$.
Ta có $\overrightarrow{BA}=\left( 4;4;4 \right)=4\left( 1;1;1 \right)\Rightarrow AB:\left\{ \begin{aligned}
& x=1+t \\
& y=1+t \\
& z=1+t \\
\end{aligned} \right.\Rightarrow I\left( t+1;t+1;t+1 \right).$
Mà $I\in \left( P \right)\Rightarrow \left( t+1 \right)+\left( t+1 \right)-\left( t+1 \right)-3=0\Leftrightarrow t=2\Rightarrow I\left( 3;3;3 \right)$
$\Rightarrow \left\{ \begin{array}{*{35}{l}}
\overrightarrow{IA}=\left( -2;-2;-2 \right) \\
\overrightarrow{IB}=\left( -6;-6;-6 \right) \\
\end{array} \right.\Rightarrow \left\{ \begin{array}{*{35}{l}}
IA=2\sqrt{3} \\
IB=6\sqrt{3} \\
\end{array} \right.$
Mặt cầu $\left( S \right)$ tiếp xúc với $\left( P \right)$ tại C nên IC là tiếp tuyến của $\left( S \right)$.
Do đó $IA.IB=I{{C}^{2}}\Rightarrow IC=\sqrt{IA.IB}=6\Rightarrow C$ thuộc mặt cầu có tâm $I\left( 3;3;3 \right)$ và bán kính $R=IC=6$.
Ta có $\overrightarrow{BA}=\left( 4;4;4 \right)=4\left( 1;1;1 \right)\Rightarrow AB:\left\{ \begin{aligned}
& x=1+t \\
& y=1+t \\
& z=1+t \\
\end{aligned} \right.\Rightarrow I\left( t+1;t+1;t+1 \right).$
Mà $I\in \left( P \right)\Rightarrow \left( t+1 \right)+\left( t+1 \right)-\left( t+1 \right)-3=0\Leftrightarrow t=2\Rightarrow I\left( 3;3;3 \right)$
$\Rightarrow \left\{ \begin{array}{*{35}{l}}
\overrightarrow{IA}=\left( -2;-2;-2 \right) \\
\overrightarrow{IB}=\left( -6;-6;-6 \right) \\
\end{array} \right.\Rightarrow \left\{ \begin{array}{*{35}{l}}
IA=2\sqrt{3} \\
IB=6\sqrt{3} \\
\end{array} \right.$
Mặt cầu $\left( S \right)$ tiếp xúc với $\left( P \right)$ tại C nên IC là tiếp tuyến của $\left( S \right)$.
Do đó $IA.IB=I{{C}^{2}}\Rightarrow IC=\sqrt{IA.IB}=6\Rightarrow C$ thuộc mặt cầu có tâm $I\left( 3;3;3 \right)$ và bán kính $R=IC=6$.
Đáp án B.