Trong không gian Oxyz, cho mặt phẳng $\left(P\right):x+y-z+2=0$...

Giả sử $C(x_C;y_C;z_C)$, ta có: $x_C+y_C-z_C+2=0$ (1).
Đường thẳng Δ qua C nhận $\overrightarrow{n_P}=(1;1;-1)$ làm véctơ chỉ phương có phương trình: $\{\begin{array}{rl}& x=x_C+t\\ & y=y_C+t\\ & z=z_C-t\end{array}$.
Gọi I là tâm mặt cầu $\left(S\right)$, có: $IA=IB\Rightarrow I$ thuộc mặt phẳng trung trực $\left(\alpha \right)$ của AB.
Mặt phẳng $\left(\alpha \right)$ có phương trình: $2\text{x}+4y-11=0$. Mặt khác $\left\{I\right\}=\mathrm{\Delta }\cap \left(\alpha \right)\Rightarrow t={\displaystyle \frac{11-2{\text{x}}_C-4y_C}{6}}$ (2).
Lại có: $IC=IA$ nên: $3t^2={[(x_C-1)+t]}^2+{[(y_C-1)+t]}^2+{[{(z_C-1)}^2-t]}^2$
$\iff {(x_C-1)}^2+{(y_C-1)}^2+{(z_C-1)}^2+2t(x_C+y_C-z_C-1)=0$.
Kết hợp (1) và (2) ta được: ${(x_C-1)}^2+{(y_C-1)}^2+{(z_C-1)}^2-6\left({\displaystyle \frac{11-2{\text{x}}_C-4y_C}{6}}\right)=0$
$\iff x_C^2+{(y_C+1)}^2+{(z_C-1)}^2=10$ (3).
Từ (1) và (3), suy ra C thuộc đường tròn giao tuyến: $\{\begin{array}{rl}& x_C+y_C-z_C+2=0\\ & x_C^2+{(y_C+1)}^2+{(z_C-1)}^2=10\end{array}$.
Khi đó bán kính của đường tròn là: $r=\sqrt{10}$.
Vậy $S=\pi R^2=10\pi$.