Google
Câu hỏi: Trong không gian Oxyz, cho mặt phẳng $\left( P \right):x+y-z+2=0$ và các điểm $A\left( 1;1;1 \right),B\left( 2;3;1 \right)$. Mặt cầu $\left( S \right)$ thay đổi qua A, B và tiếp xúc với $\left( P \right)$ tại C. Biết rằng C luôn chạy trên một đường tròn cố định. Diện tích S đường tròn đó bằng
A. 5π
B. 10π
C. 20π
D. $\sqrt{126}\pi $
A. 5π
B. 10π
C. 20π
D. $\sqrt{126}\pi $
Giả sử $C\left( {{x}_{C}};{{y}_{C}};{{z}_{C}} \right)$, ta có: ${{x}_{C}}+{{y}_{C}}-{{z}_{C}}+2=0$ (1).
Đường thẳng Δ qua C nhận $\overrightarrow{{{n}_{P}}}=\left( 1;1;-1 \right)$ làm véctơ chỉ phương có phương trình: $\left\{ \begin{aligned}
& x={{x}_{C}}+t \\
& y={{y}_{C}}+t \\
& z={{z}_{C}}-t \\
\end{aligned} \right.$.
Gọi I là tâm mặt cầu $\left( S \right)$, có: $IA=IB\Rightarrow I$ thuộc mặt phẳng trung trực $\left( \alpha \right)$ của AB.
Mặt phẳng $\left( \alpha \right)$ có phương trình: $2\text{x}+4y-11=0$. Mặt khác $\left\{ I \right\}=\Delta \cap \left( \alpha \right)\Rightarrow t=\dfrac{11-2{{\text{x}}_{C}}-4{{y}_{C}}}{6}$ (2).
Lại có: $IC=IA$ nên: $3{{t}^{2}}={{\left[ \left( {{x}_{C}}-1 \right)+t \right]}^{2}}+{{\left[ \left( {{y}_{C}}-1 \right)+t \right]}^{2}}+{{\left[ {{\left( {{z}_{C}}-1 \right)}^{2}}-t \right]}^{2}}$
$\Leftrightarrow {{\left( {{x}_{C}}-1 \right)}^{2}}+{{\left( {{y}_{C}}-1 \right)}^{2}}+{{\left( {{z}_{C}}-1 \right)}^{2}}+2t\left( {{x}_{C}}+{{y}_{C}}-{{z}_{C}}-1 \right)=0$.
Kết hợp (1) và (2) ta được: ${{\left( {{x}_{C}}-1 \right)}^{2}}+{{\left( {{y}_{C}}-1 \right)}^{2}}+{{\left( {{z}_{C}}-1 \right)}^{2}}-6\left( \dfrac{11-2{{\text{x}}_{C}}-4{{y}_{C}}}{6} \right)=0$
$\Leftrightarrow x_{C}^{2}+{{\left( {{y}_{C}}+1 \right)}^{2}}+{{\left( {{z}_{C}}-1 \right)}^{2}}=10$ (3).
Từ (1) và (3), suy ra C thuộc đường tròn giao tuyến: $\left\{ \begin{aligned}
& {{x}_{C}}+{{y}_{C}}-{{z}_{C}}+2=0 \\
& x_{C}^{2}+{{\left( {{y}_{C}}+1 \right)}^{2}}+{{\left( {{z}_{C}}-1 \right)}^{2}}=10 \\
\end{aligned} \right.$.
Khi đó bán kính của đường tròn là: $r=\sqrt{10}$.
Vậy $S=\pi {{R}^{2}}=10\pi $.
Đường thẳng Δ qua C nhận $\overrightarrow{{{n}_{P}}}=\left( 1;1;-1 \right)$ làm véctơ chỉ phương có phương trình: $\left\{ \begin{aligned}
& x={{x}_{C}}+t \\
& y={{y}_{C}}+t \\
& z={{z}_{C}}-t \\
\end{aligned} \right.$.
Gọi I là tâm mặt cầu $\left( S \right)$, có: $IA=IB\Rightarrow I$ thuộc mặt phẳng trung trực $\left( \alpha \right)$ của AB.
Mặt phẳng $\left( \alpha \right)$ có phương trình: $2\text{x}+4y-11=0$. Mặt khác $\left\{ I \right\}=\Delta \cap \left( \alpha \right)\Rightarrow t=\dfrac{11-2{{\text{x}}_{C}}-4{{y}_{C}}}{6}$ (2).
Lại có: $IC=IA$ nên: $3{{t}^{2}}={{\left[ \left( {{x}_{C}}-1 \right)+t \right]}^{2}}+{{\left[ \left( {{y}_{C}}-1 \right)+t \right]}^{2}}+{{\left[ {{\left( {{z}_{C}}-1 \right)}^{2}}-t \right]}^{2}}$
$\Leftrightarrow {{\left( {{x}_{C}}-1 \right)}^{2}}+{{\left( {{y}_{C}}-1 \right)}^{2}}+{{\left( {{z}_{C}}-1 \right)}^{2}}+2t\left( {{x}_{C}}+{{y}_{C}}-{{z}_{C}}-1 \right)=0$.
Kết hợp (1) và (2) ta được: ${{\left( {{x}_{C}}-1 \right)}^{2}}+{{\left( {{y}_{C}}-1 \right)}^{2}}+{{\left( {{z}_{C}}-1 \right)}^{2}}-6\left( \dfrac{11-2{{\text{x}}_{C}}-4{{y}_{C}}}{6} \right)=0$
$\Leftrightarrow x_{C}^{2}+{{\left( {{y}_{C}}+1 \right)}^{2}}+{{\left( {{z}_{C}}-1 \right)}^{2}}=10$ (3).
Từ (1) và (3), suy ra C thuộc đường tròn giao tuyến: $\left\{ \begin{aligned}
& {{x}_{C}}+{{y}_{C}}-{{z}_{C}}+2=0 \\
& x_{C}^{2}+{{\left( {{y}_{C}}+1 \right)}^{2}}+{{\left( {{z}_{C}}-1 \right)}^{2}}=10 \\
\end{aligned} \right.$.
Khi đó bán kính của đường tròn là: $r=\sqrt{10}$.
Vậy $S=\pi {{R}^{2}}=10\pi $.
Đáp án B.