Trong không gian Oxyz, cho mặt phẳng $(P) : x + y + z - 2 = 0$ ...

The Knowledge · 16/12/21

Câu hỏi: Trong không gian Oxyz, cho mặt phẳng

(P) : x + y + z - 2 = 0

và đường thẳng

d : \frac{x}{1} = \frac{y - 1}{- 1} = \frac{z - 1}{1}

. Mặt phẳng

(Q) : a x + b y + c z = 3

chứa d và tạo với

(P)

một góc nhỏ nhất. Tính

a + b + c

.
A. 2.
B. 3.
C. 4.
D. 5.

Ta có

A (0; 1; 1) \in d, B (1; 0; 2) \in d

.
Mà

d \subset (Q) \Rightarrow {\begin{aligned} A \in (Q) \\ B \in (Q) \end{aligned} \Rightarrow {\begin{aligned} b + c - 3 = 0 \\ a + 2 c - 3 = 0 \end{aligned} \Rightarrow {\begin{aligned} b = 3 - c \\ a = 3 - 2 c \end{aligned}

.
Như vậy

\begin{aligned} {\begin{aligned} \vec{n_{Q}} = (3 - 2 c; 3 - c; c) \\ \vec{n_{P}} = (1; 1; 1) \end{aligned} \Rightarrow \cos ((Q); (P)) = \frac{| (3 - 2 c) + (3 - c) + c |}{\sqrt{{(3 - 2 c)}^{2} + {(3 - c)}^{2} + c^{2}} . \sqrt{3}} \\ = \frac{| 6 - 2 c |}{\sqrt{6 c^{2} - 18 c + 18} . \sqrt{3}} = \frac{2}{\sqrt{18}} . \frac{| c - 3 |}{\sqrt{c^{2} - 3 c + 3}} \end{aligned}

Góc giữa

(Q)

và

(P)

nhỏ nhất khi

\cos ((Q); (P))

lớn nhất.
Xét

f (c) = \frac{{(c - 3)}^{2}}{c^{2} - 3 c + 3} \Rightarrow f^{'} (c) = \frac{2 (c - 3) (c^{2} - 3 c + 3) - {(c - 3)}^{2} (2 c - 3)}{{(c^{2} - 3 c + 3)}^{2}} = 0

.

\begin{aligned} \Rightarrow 2 (c^{2} - 3 c + 3) = (c - 3) (2 c - 3) = 2 c^{2} - 9 c + 9 \Rightarrow 3 c = 3 \Rightarrow c = 1 \\ f (c) \leq f (1) = 4 \Rightarrow \cos ((Q); (P)) \leq \frac{2}{\sqrt{18}} . \sqrt{4} = \frac{2 \sqrt{2}}{3} \end{aligned}

Dấu "=" xảy ra

\Leftrightarrow c = 1 \Rightarrow \vec{n_{Q}} = (1; 2; 1)

.

\Rightarrow (Q) : x + 2 (y - 1) + (z - 1) = 0 \Leftrightarrow x + 2 y + z - 3 = 0

.

Đáp án C.

Trong không gian Oxyz, cho mặt phẳng (P):x+y+z−2=0...