Google
Câu hỏi: Trong không gian $Oxyz,$ cho mặt phẳng $\left( P \right):x+y-4z=0,$ đường thẳng $d:\dfrac{x-1}{2}=\dfrac{y+1}{-1}=\dfrac{z-3}{1}$ và điểm $A\left( 1;3;1 \right)$ thuộc mặt phẳng $\left( P \right).$ Gọi $\Delta $ là đường thẳng đi qua $A,$ nằm trong mặt phẳng $\left( P \right)$ và cách đường thẳng $d$ một khoảng lớn nhất. Gọi $\overrightarrow{u}=\left( a;b;1 \right)$ là một vecto chỉ phương của đường thẳng $\Delta .$ Giá trị của $a+2b$ là:
A. 4
B. 0
C. $-3$
D. 7
A. 4
B. 0
C. $-3$
D. 7
Cách giải:
Đường thẳng $d$ đi qua điểm $M\left( 1;-1;3 \right)$ và có 1 vecto chỉ phương $\overrightarrow{{{u}_{1}}}=\left( 2;-1;1 \right).$
Ta thấy $A\notin d.$ Gọi $I=d\cap \left( P \right),$ khi đó tọa độ điểm $I$ là nghiệm của hệ
$\left\{ \begin{aligned}
& x=1+2t \\
& y=-1-t \\
& z=3+t \\
& x+y-4z=0 \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& x=1+2t \\
& y=-1-t \\
& z=3+t \\
& 1+2t-1-t-12-4t=0 \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& t=-4 \\
& x=-7 \\
& y=3 \\
& z=-1 \\
\end{aligned} \right.$
$\Rightarrow I\left( -7;3;-1 \right).$
Gọi $\left( Q \right)$ là mặt phẳng chứa $d$ và song song với $\Delta .$
Khi đó ta có: $d\left( \Delta ;d \right)=d\left( \Delta ;Q \right)=d\left( A;\left( Q \right) \right)$.
Gọi $H,K$ lần lượt là hình chiếu của $A$ lên $\left( Q \right),d$ ta có $AH\le AK.$
Do đó $d{{\left( \Delta ;d \right)}_{\max }}=AK$ khi $H\equiv K$ hay $AK$ là đoạn vuông góc chung của $d$ và $\Delta$.
Gọi mặt phẳng $\left( R \right)$ chứa $A$ và $d.$ Khi đó $mp\left( R \right)$ có 1 VTPT là $\overrightarrow{{{n}_{R}}}=\left[ \overrightarrow{AM};\overrightarrow{{{u}_{1}}} \right]=\left( -2;4;8 \right)$
Ta có $\left\{ \begin{aligned}
& AK\subset \left( R \right) \\
& AK\bot \left( Q \right) \\
\end{aligned} \right.\Rightarrow \left( R \right)\bot \left( Q \right)$
Gọi $\overrightarrow{{{n}_{Q}}}$ là 1 VTPT của $\left( Q \right)$ ta có $\left\{ \begin{aligned}
& \overrightarrow{{{n}_{Q}}}\bot \overrightarrow{{{n}_{R}}} \\
& \overrightarrow{{{n}_{Q}}}\bot \overrightarrow{{{u}_{1}}} \\
\end{aligned} \right.\Rightarrow \overrightarrow{{{n}_{Q}}}=\left[ \overrightarrow{{{n}_{R}}};\overrightarrow{{{u}_{1}}} \right]=\left( 12;18;-6 \right)$
Gọi $\overrightarrow{{{u}_{\Delta }}}$ là 1 VTCP của đường thẳng $\Delta .$ Ta có $\left\{ \begin{aligned}
& \Delta \subset \left( P \right) \\
& \Delta //\left( Q \right) \\
\end{aligned} \right.\Rightarrow \overrightarrow{{{u}_{\Delta }}}=\left[ \overrightarrow{{{n}_{P}}};\overrightarrow{{{n}_{Q}}} \right]=\left( 66;-42;6 \right)//\left( 11;-7;1 \right).$
$\Rightarrow a=11;b=-7$.
Vậy $a+2b=11+2.\left( -7 \right)=-3.$
Đường thẳng $d$ đi qua điểm $M\left( 1;-1;3 \right)$ và có 1 vecto chỉ phương $\overrightarrow{{{u}_{1}}}=\left( 2;-1;1 \right).$
Ta thấy $A\notin d.$ Gọi $I=d\cap \left( P \right),$ khi đó tọa độ điểm $I$ là nghiệm của hệ
$\left\{ \begin{aligned}
& x=1+2t \\
& y=-1-t \\
& z=3+t \\
& x+y-4z=0 \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& x=1+2t \\
& y=-1-t \\
& z=3+t \\
& 1+2t-1-t-12-4t=0 \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& t=-4 \\
& x=-7 \\
& y=3 \\
& z=-1 \\
\end{aligned} \right.$
$\Rightarrow I\left( -7;3;-1 \right).$
Gọi $\left( Q \right)$ là mặt phẳng chứa $d$ và song song với $\Delta .$
Khi đó ta có: $d\left( \Delta ;d \right)=d\left( \Delta ;Q \right)=d\left( A;\left( Q \right) \right)$.
Gọi $H,K$ lần lượt là hình chiếu của $A$ lên $\left( Q \right),d$ ta có $AH\le AK.$
Do đó $d{{\left( \Delta ;d \right)}_{\max }}=AK$ khi $H\equiv K$ hay $AK$ là đoạn vuông góc chung của $d$ và $\Delta$.
Gọi mặt phẳng $\left( R \right)$ chứa $A$ và $d.$ Khi đó $mp\left( R \right)$ có 1 VTPT là $\overrightarrow{{{n}_{R}}}=\left[ \overrightarrow{AM};\overrightarrow{{{u}_{1}}} \right]=\left( -2;4;8 \right)$
Ta có $\left\{ \begin{aligned}
& AK\subset \left( R \right) \\
& AK\bot \left( Q \right) \\
\end{aligned} \right.\Rightarrow \left( R \right)\bot \left( Q \right)$
Gọi $\overrightarrow{{{n}_{Q}}}$ là 1 VTPT của $\left( Q \right)$ ta có $\left\{ \begin{aligned}
& \overrightarrow{{{n}_{Q}}}\bot \overrightarrow{{{n}_{R}}} \\
& \overrightarrow{{{n}_{Q}}}\bot \overrightarrow{{{u}_{1}}} \\
\end{aligned} \right.\Rightarrow \overrightarrow{{{n}_{Q}}}=\left[ \overrightarrow{{{n}_{R}}};\overrightarrow{{{u}_{1}}} \right]=\left( 12;18;-6 \right)$
Gọi $\overrightarrow{{{u}_{\Delta }}}$ là 1 VTCP của đường thẳng $\Delta .$ Ta có $\left\{ \begin{aligned}
& \Delta \subset \left( P \right) \\
& \Delta //\left( Q \right) \\
\end{aligned} \right.\Rightarrow \overrightarrow{{{u}_{\Delta }}}=\left[ \overrightarrow{{{n}_{P}}};\overrightarrow{{{n}_{Q}}} \right]=\left( 66;-42;6 \right)//\left( 11;-7;1 \right).$
$\Rightarrow a=11;b=-7$.
Vậy $a+2b=11+2.\left( -7 \right)=-3.$
Đáp án C.