Google
Câu hỏi: Trong không gian Oxyz, cho mặt phẳng $\left( P \right):x-2y+z-5=0$ và hai đường thẳng ${{d}_{1}}:\dfrac{x+1}{1}=\dfrac{y+3}{1}=\dfrac{z-4}{-1},{{d}_{2}}:\dfrac{x-1}{1}=\dfrac{y+1}{2}=\dfrac{z-3}{1}.$ Viết phương trình đường thẳng d nằm trên mặt phẳng $\left( P \right),$ đồng thời cắt cả hai đường thẳng ${{d}_{1}}$ và ${{d}_{2}}.$
A. $d:\dfrac{x-1}{1}=\dfrac{y+1}{1}=\dfrac{z-2}{1}$
B. $d:\dfrac{x-1}{1}=\dfrac{y+1}{2}=\dfrac{z-2}{3}.$
C. $d:\dfrac{x-1}{-1}=\dfrac{y+1}{1}=\dfrac{z-2}{3}.$
D. $d:\dfrac{x-2}{-1}=\dfrac{y}{1}=\dfrac{z-1}{3}.$
A. $d:\dfrac{x-1}{1}=\dfrac{y+1}{1}=\dfrac{z-2}{1}$
B. $d:\dfrac{x-1}{1}=\dfrac{y+1}{2}=\dfrac{z-2}{3}.$
C. $d:\dfrac{x-1}{-1}=\dfrac{y+1}{1}=\dfrac{z-2}{3}.$
D. $d:\dfrac{x-2}{-1}=\dfrac{y}{1}=\dfrac{z-1}{3}.$
Gọi $M={{d}_{1}}\cap d,$ ta có
${{d}_{1}}:\left\{ \begin{aligned}
& x=-1+t \\
& y=-3+t \\
& z=4-t \\
\end{aligned} \right.\left( t\in \mathbb{R} \right)\Rightarrow M\left( m-1;m-3;4-m \right).$
Gọi $N={{d}_{2}}\cap d$, ta có
${{d}_{2}}:\left\{ \begin{aligned}
& x=1+{t}' \\
& y=-1+2{t}' \\
& z=3+{t}' \\
\end{aligned} \right.\left( {t}'\in \mathbb{R} \right)\Rightarrow N\left( n+1;2n-1;n+3 \right).$
Bài ra d nằm trên $\left( P \right)$ nên
$\left\{ \begin{array}{*{35}{l}}
M\in \left( P \right) \\
N\in \left( P \right) \\
\end{array} \right.\Rightarrow \left\{ \begin{array}{*{35}{l}}
\left( m-1 \right)-2\left( m-3 \right)+\left( 4-m \right)-5=0 \\
\left( n+1 \right)-2\left( 2n-1 \right)+\left( n+3 \right)-5=0 \\
\end{array} \right.$
$\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{*{35}{l}}
-2m+4=0 \\
-2n+1=0 \\
\end{array} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{*{35}{l}}
m=2\Rightarrow M\left( 1;-1;2 \right) \\
n=\dfrac{1}{2}\Rightarrow N\left( \dfrac{3}{2};0;\dfrac{7}{2} \right) \\
\end{array} \right.\Rightarrow \overrightarrow{MN}=\left( \dfrac{1}{2};1;\dfrac{3}{2} \right).$
Đường thẳng d nhận $\overrightarrow{MN}=\left( \dfrac{1}{2};1;\dfrac{3}{2} \right)$ là một VTCP nên nhận $\overrightarrow{u}=\left( 1;2;3 \right)$ là một VTCP.
Kết hợp với d qua $M\left( 1;-1;2 \right)\Rightarrow d:\dfrac{x-1}{1}=\dfrac{y+1}{2}=\dfrac{z-2}{3}.$
${{d}_{1}}:\left\{ \begin{aligned}
& x=-1+t \\
& y=-3+t \\
& z=4-t \\
\end{aligned} \right.\left( t\in \mathbb{R} \right)\Rightarrow M\left( m-1;m-3;4-m \right).$
Gọi $N={{d}_{2}}\cap d$, ta có
${{d}_{2}}:\left\{ \begin{aligned}
& x=1+{t}' \\
& y=-1+2{t}' \\
& z=3+{t}' \\
\end{aligned} \right.\left( {t}'\in \mathbb{R} \right)\Rightarrow N\left( n+1;2n-1;n+3 \right).$
Bài ra d nằm trên $\left( P \right)$ nên
$\left\{ \begin{array}{*{35}{l}}
M\in \left( P \right) \\
N\in \left( P \right) \\
\end{array} \right.\Rightarrow \left\{ \begin{array}{*{35}{l}}
\left( m-1 \right)-2\left( m-3 \right)+\left( 4-m \right)-5=0 \\
\left( n+1 \right)-2\left( 2n-1 \right)+\left( n+3 \right)-5=0 \\
\end{array} \right.$
$\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{*{35}{l}}
-2m+4=0 \\
-2n+1=0 \\
\end{array} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{*{35}{l}}
m=2\Rightarrow M\left( 1;-1;2 \right) \\
n=\dfrac{1}{2}\Rightarrow N\left( \dfrac{3}{2};0;\dfrac{7}{2} \right) \\
\end{array} \right.\Rightarrow \overrightarrow{MN}=\left( \dfrac{1}{2};1;\dfrac{3}{2} \right).$
Đường thẳng d nhận $\overrightarrow{MN}=\left( \dfrac{1}{2};1;\dfrac{3}{2} \right)$ là một VTCP nên nhận $\overrightarrow{u}=\left( 1;2;3 \right)$ là một VTCP.
Kết hợp với d qua $M\left( 1;-1;2 \right)\Rightarrow d:\dfrac{x-1}{1}=\dfrac{y+1}{2}=\dfrac{z-2}{3}.$
Đáp án B.