Google
Câu hỏi: Trong không gian $Oxyz$, cho mặt phẳng $\left( P \right):\left( m-1 \right)x+y+mz-1=0$ (với $m$ là tham số thực) và điểm $A\left( 1;1;2 \right)$. Khoảng cách lớn nhất từ $A$ đến $\left( P \right)$ bằng
A. $\dfrac{1}{3}$.
B. $5$.
C. $\dfrac{\sqrt{42}}{3}$.
D. $\dfrac{3\sqrt{2}}{2}$.
Ta có khoảng cách từ $A$ đến $\left( P \right)$ là
$d=\dfrac{\left| m-1+1+2m-1 \right|}{\sqrt{{{\left( m-1 \right)}^{2}}+1+{{m}^{2}}}}\Rightarrow {{d}^{2}}=\dfrac{{{\left( 3m-1 \right)}^{2}}}{2{{m}^{2}}-2m+2}=\dfrac{9{{m}^{2}}-6m+1}{2{{m}^{2}}-2m+2}$
Nên $\left( 9-2{{d}^{2}} \right){{m}^{2}}-\left( 6-2{{d}^{2}} \right)m+1-2{{d}^{2}}=0$ luôn có nghiệm thuộc tập $\mathbb{R}$.
Trường hợp 1: Nếu ${{d}^{2}}=\dfrac{9}{2}\Rightarrow m=\dfrac{8}{3}$.
Trường hợp 2: Nếu ${{d}^{2}}\ne \dfrac{9}{2}$ thì
$\Rightarrow {\Delta }'={{\left( 3-{{d}^{2}} \right)}^{2}}-\left( 9-2{{d}^{2}} \right)\left( 1-2{{d}^{2}} \right)=-3{{d}^{4}}+14{{d}^{2}}\ge 0\Rightarrow 0\le {{d}^{2}}\le \dfrac{14}{3}$.
Vậy khoảng cách lớn nhất từ $A$ đến $\left( P \right)$ là $\dfrac{\sqrt{42}}{3}$.
A. $\dfrac{1}{3}$.
B. $5$.
C. $\dfrac{\sqrt{42}}{3}$.
D. $\dfrac{3\sqrt{2}}{2}$.
Ta có khoảng cách từ $A$ đến $\left( P \right)$ là
$d=\dfrac{\left| m-1+1+2m-1 \right|}{\sqrt{{{\left( m-1 \right)}^{2}}+1+{{m}^{2}}}}\Rightarrow {{d}^{2}}=\dfrac{{{\left( 3m-1 \right)}^{2}}}{2{{m}^{2}}-2m+2}=\dfrac{9{{m}^{2}}-6m+1}{2{{m}^{2}}-2m+2}$
Nên $\left( 9-2{{d}^{2}} \right){{m}^{2}}-\left( 6-2{{d}^{2}} \right)m+1-2{{d}^{2}}=0$ luôn có nghiệm thuộc tập $\mathbb{R}$.
Trường hợp 1: Nếu ${{d}^{2}}=\dfrac{9}{2}\Rightarrow m=\dfrac{8}{3}$.
Trường hợp 2: Nếu ${{d}^{2}}\ne \dfrac{9}{2}$ thì
$\Rightarrow {\Delta }'={{\left( 3-{{d}^{2}} \right)}^{2}}-\left( 9-2{{d}^{2}} \right)\left( 1-2{{d}^{2}} \right)=-3{{d}^{4}}+14{{d}^{2}}\ge 0\Rightarrow 0\le {{d}^{2}}\le \dfrac{14}{3}$.
Vậy khoảng cách lớn nhất từ $A$ đến $\left( P \right)$ là $\dfrac{\sqrt{42}}{3}$.
Đáp án C.