Trong không gian Oxyz, cho mặt phẳng $\left(P\right)$ chứa...

Cách 1: Gọi $\left(P\right)$ là mặt phẳng chứa d và $\left(P\right)$ tạo với Oy góc lớn nhất.
Vì $\left(P\right)$ chứa d nên $\left(P\right)$ đi qua điểm $M(1;-2;0)$.
Phương trình mặt phẳng $\left(P\right)$ là $\left(P\right):a(x-1)+b(y+2)+cz=0\left(1\right)$.
Điều kiện $a^2+b^2+c^2>0$.
Vì $N(0;-1;2)$ nên N thuộc $\left(P\right)$. Do vậy ta có $-a+b+2c=0$ hay $a=b+2c$.
Thay vào (1) ta được: $(b+2c)x+by+cz+b-2c=0\left(2\right)$.
Mặt phẳng $\left(P\right)$ có vectơ pháp tuyến $\overrightarrow{n_{\left(P\right)}}=(b+2c;b;c)$, trục Oy có vectơ chỉ phương là $\overrightarrow{j}=(0;1;0)$.
Gọi $\alpha$ là góc của Oy và $\left(P\right)$ ta có $\sin \alpha =|\cos (\overrightarrow{j},\overrightarrow{n_{\left(P\right)}})|={\displaystyle \frac{\left|b\right|}{\sqrt{2b^2+5c^2+4cb}}}$.
Trường hợp 1: $b=0$ thì $\alpha =0$.
Trường hợp 2: $b\ne 0$ thì $\sin \alpha ={\displaystyle \frac{1}{\sqrt{2+5{\left({\displaystyle \frac{c}{b}}\right)}^2+4\left({\displaystyle \frac{c}{b}}\right)}}}$.
Đặt $t={\displaystyle \frac{c}{b}}$, xét hàm số $f\left(t\right)=5t^2+4t+2$.
Ta có $\sin \alpha$ lớn nhất khi $f\left(t\right)=5t^2+4t+2$ nhỏ nhất $\iff t=-{\displaystyle \frac{2}{5}}\iff {\displaystyle \frac{c}{b}}=-{\displaystyle \frac{2}{5}}\iff c=-{\displaystyle \frac{2b}{5}}$.
Thay vào (2), ta được: $(b-{\displaystyle \frac{4b}{5}})x+by-{\displaystyle \frac{2b}{5}}z+b+{\displaystyle \frac{4b}{5}}=0\iff x+5y-2z+9=0.$
Cách 2:
Ta có vectơ chỉ phương của d là $\overrightarrow{v_d}=(1;-1;-2)$ ; vectơ chỉ phương của Oy là $\overrightarrow{v_{Oy}}=(0;1;0)$.
Gọi $\overrightarrow{n}=[\overrightarrow{v_{\mathrm{\Delta }}},\overrightarrow{J}]=(\left|\begin{array}{rl}& -1-2\\ & 10\end{array}\right|;\left|\begin{array}{rl}& -21\\ & 00\end{array}\right|;\left|\begin{array}{rl}& 1-1\\ & 01\end{array}\right|)=(2;0;1).$
Gọi $\overrightarrow{n_{\left(P\right)}}$ là vectơ pháp tuyến của $\left(P\right)$, suy ra $\overrightarrow{n_{\left(P\right)}}=[\overrightarrow{n},\overrightarrow{v_{\mathrm{\Delta }}}]=(\left|\begin{array}{rl}& 01\\ & -1-2\end{array}\right|;\left|\begin{array}{rl}& 12\\ & -21\end{array}\right|;\left|\begin{array}{rl}& 20\\ & 1-1\end{array}\right|)=(1;5;-2).$
Vậy phương trình mặt phẳng $\left(P\right)$ là $1.(x-1)+5.(y+2)-2z=0\iff x+5y-2z+9=0$.