Google
Câu hỏi: Trong không gian Oxyz, cho mặt phẳng $\left( P \right)$ chứa $\left( d \right):\dfrac{x-1}{1}=\dfrac{y+2}{-1}=\dfrac{z}{-2}$ và tạo với trục Oy một góc lớn nhất. Phương trình mặt phẳng $\left( P \right)$ có dạng $\left( P \right):x+by+cz+d=0$. Giá trị $b+c+d$ là:
A. 5.
B. 9.
C. 10.
D. 12.
A. 5.
B. 9.
C. 10.
D. 12.
Cách 1: Gọi $\left( P \right)$ là mặt phẳng chứa d và $\left( P \right)$ tạo với Oy góc lớn nhất.
Vì $\left( P \right)$ chứa d nên $\left( P \right)$ đi qua điểm $M\left( 1;-2;0 \right)$.
Phương trình mặt phẳng $\left( P \right)$ là $\left( P \right):a\left( x-1 \right)+b\left( y+2 \right)+cz=0\ \ \ \left( 1 \right)$.
Điều kiện ${{a}^{2}}+{{b}^{2}}+{{c}^{2}}>0$.
Vì $N\left( 0;-1;2 \right)$ nên N thuộc $\left( P \right)$. Do vậy ta có $-a+b+2c=0$ hay $a=b+2c$.
Thay vào (1) ta được: $\left( b+2c \right)x+by+cz+b-2c=0\ \ \ \left( 2 \right)$.
Mặt phẳng $\left( P \right)$ có vectơ pháp tuyến $\overrightarrow{{{n}_{\left( P \right)}}}=\left( b+2c;b;c \right)$, trục Oy có vectơ chỉ phương là $\overrightarrow{j}=\left( 0;1;0 \right)$.
Gọi $\alpha $ là góc của Oy và $\left( P \right)$ ta có $\sin \alpha =\left| \cos \left( \overrightarrow{j},\overrightarrow{{{n}_{\left( P \right)}}} \right) \right|=\dfrac{\left| b \right|}{\sqrt{2{{b}^{2}}+5{{c}^{2}}+4cb}}$.
Trường hợp 1: $b=0$ thì $\alpha =0$.
Trường hợp 2: $b\ne 0$ thì $\sin \alpha =\dfrac{1}{\sqrt{2+5{{\left( \dfrac{c}{b} \right)}^{2}}+4\left( \dfrac{c}{b} \right)}}$.
Đặt $t=\dfrac{c}{b}$, xét hàm số $f\left( t \right)=5{{t}^{2}}+4t+2$.
Ta có $\sin \alpha $ lớn nhất khi $f\left( t \right)=5{{t}^{2}}+4t+2$ nhỏ nhất $\Leftrightarrow t=-\dfrac{2}{5}\Leftrightarrow \dfrac{c}{b}=-\dfrac{2}{5}\Leftrightarrow c=-\dfrac{2b}{5}$.
Thay vào (2), ta được: $\left( b-\dfrac{4b}{5} \right)x+by-\dfrac{2b}{5}z+b+\dfrac{4b}{5}=0\Leftrightarrow x+5y-2z+9=0.$
Cách 2:
Ta có vectơ chỉ phương của d là $\overrightarrow{{{v}_{d}}}=\left( 1;-1;-2 \right)$ ; vectơ chỉ phương của Oy là $\overrightarrow{{{v}_{Oy}}}=\left( 0;1;0 \right)$.
Gọi $\overrightarrow{n}=\left[ \overrightarrow{{{v}_{\Delta }}},\overrightarrow{J} \right]=\left( \left| \begin{aligned}
& -1\ \ -2 \\
& 1\ \ \ \ \ \ \ 0 \\
\end{aligned} \right|;\left| \begin{aligned}
& -2\ \ 1 \\
& 0\ \ \ \ 0 \\
\end{aligned} \right|;\left| \begin{aligned}
& 1\ \ -1 \\
& 0\ \ \ \ 1 \\
\end{aligned} \right| \right)=\left( 2;0;1 \right).$
Gọi $\overrightarrow{{{n}_{\left( P \right)}}}$ là vectơ pháp tuyến của $\left( P \right)$, suy ra $\overrightarrow{{{n}_{\left( P \right)}}}=\left[ \overrightarrow{n},\overrightarrow{{{v}_{\Delta }}} \right]=\left( \left| \begin{aligned}
& 0\ \ \ \ \ \ \ 1 \\
& -1\ \ -2 \\
\end{aligned} \right|;\left| \begin{aligned}
& 1\ \ \ \ \ \ 2 \\
& -2\ \ \ \ 1 \\
\end{aligned} \right|;\left| \begin{aligned}
& 2\ \ \ \ \ 0 \\
& 1\ \ \ -1 \\
\end{aligned} \right| \right)=\left( 1;5;-2 \right).$
Vậy phương trình mặt phẳng $\left( P \right)$ là $1.\left( x-1 \right)+5.\left( y+2 \right)-2z=0\Leftrightarrow x+5y-2z+9=0$.
Vì $\left( P \right)$ chứa d nên $\left( P \right)$ đi qua điểm $M\left( 1;-2;0 \right)$.
Phương trình mặt phẳng $\left( P \right)$ là $\left( P \right):a\left( x-1 \right)+b\left( y+2 \right)+cz=0\ \ \ \left( 1 \right)$.
Điều kiện ${{a}^{2}}+{{b}^{2}}+{{c}^{2}}>0$.
Vì $N\left( 0;-1;2 \right)$ nên N thuộc $\left( P \right)$. Do vậy ta có $-a+b+2c=0$ hay $a=b+2c$.
Thay vào (1) ta được: $\left( b+2c \right)x+by+cz+b-2c=0\ \ \ \left( 2 \right)$.
Mặt phẳng $\left( P \right)$ có vectơ pháp tuyến $\overrightarrow{{{n}_{\left( P \right)}}}=\left( b+2c;b;c \right)$, trục Oy có vectơ chỉ phương là $\overrightarrow{j}=\left( 0;1;0 \right)$.
Gọi $\alpha $ là góc của Oy và $\left( P \right)$ ta có $\sin \alpha =\left| \cos \left( \overrightarrow{j},\overrightarrow{{{n}_{\left( P \right)}}} \right) \right|=\dfrac{\left| b \right|}{\sqrt{2{{b}^{2}}+5{{c}^{2}}+4cb}}$.
Trường hợp 1: $b=0$ thì $\alpha =0$.
Trường hợp 2: $b\ne 0$ thì $\sin \alpha =\dfrac{1}{\sqrt{2+5{{\left( \dfrac{c}{b} \right)}^{2}}+4\left( \dfrac{c}{b} \right)}}$.
Đặt $t=\dfrac{c}{b}$, xét hàm số $f\left( t \right)=5{{t}^{2}}+4t+2$.
Ta có $\sin \alpha $ lớn nhất khi $f\left( t \right)=5{{t}^{2}}+4t+2$ nhỏ nhất $\Leftrightarrow t=-\dfrac{2}{5}\Leftrightarrow \dfrac{c}{b}=-\dfrac{2}{5}\Leftrightarrow c=-\dfrac{2b}{5}$.
Thay vào (2), ta được: $\left( b-\dfrac{4b}{5} \right)x+by-\dfrac{2b}{5}z+b+\dfrac{4b}{5}=0\Leftrightarrow x+5y-2z+9=0.$
Cách 2:
Ta có vectơ chỉ phương của d là $\overrightarrow{{{v}_{d}}}=\left( 1;-1;-2 \right)$ ; vectơ chỉ phương của Oy là $\overrightarrow{{{v}_{Oy}}}=\left( 0;1;0 \right)$.
Gọi $\overrightarrow{n}=\left[ \overrightarrow{{{v}_{\Delta }}},\overrightarrow{J} \right]=\left( \left| \begin{aligned}
& -1\ \ -2 \\
& 1\ \ \ \ \ \ \ 0 \\
\end{aligned} \right|;\left| \begin{aligned}
& -2\ \ 1 \\
& 0\ \ \ \ 0 \\
\end{aligned} \right|;\left| \begin{aligned}
& 1\ \ -1 \\
& 0\ \ \ \ 1 \\
\end{aligned} \right| \right)=\left( 2;0;1 \right).$
Gọi $\overrightarrow{{{n}_{\left( P \right)}}}$ là vectơ pháp tuyến của $\left( P \right)$, suy ra $\overrightarrow{{{n}_{\left( P \right)}}}=\left[ \overrightarrow{n},\overrightarrow{{{v}_{\Delta }}} \right]=\left( \left| \begin{aligned}
& 0\ \ \ \ \ \ \ 1 \\
& -1\ \ -2 \\
\end{aligned} \right|;\left| \begin{aligned}
& 1\ \ \ \ \ \ 2 \\
& -2\ \ \ \ 1 \\
\end{aligned} \right|;\left| \begin{aligned}
& 2\ \ \ \ \ 0 \\
& 1\ \ \ -1 \\
\end{aligned} \right| \right)=\left( 1;5;-2 \right).$
Vậy phương trình mặt phẳng $\left( P \right)$ là $1.\left( x-1 \right)+5.\left( y+2 \right)-2z=0\Leftrightarrow x+5y-2z+9=0$.
Đáp án D.