Trong không gian $Oxyz,$ cho mặt phẳng $\left( P \right):2x-2y+z+2021=0$ và đường thẳng $d:\dfrac{x}{1}=\dfrac{y-2}{1}=\dfrac{z+6}{-2}.$ Mặt phẳng...

Phương pháp:
- $\left\{ \begin{aligned}
& d\subset \left( Q \right) \\
& \left( P \right)\bot \left( Q \right) \\
\end{aligned} \right.\Rightarrow \left\{ \begin{aligned}
& \overrightarrow{{{u}_{d}}}\bot \overrightarrow{{{n}_{Q}}} \\
& \overrightarrow{{{n}_{P}}}\bot \overrightarrow{{{n}_{Q}}} \\
\end{aligned} \right.\Rightarrow \overrightarrow{{{n}_{Q}}}=\left[ \overrightarrow{{{u}_{d}}},\overrightarrow{{{n}_{P}}} \right]$
- Lấy $M\in d$ bất kì, suy ra $M\in \left( Q \right).$
- Viết phương trình mặt phẳng $\left( Q \right)$ đi qua $M$ và có 1 VTPT $\overrightarrow{{{n}_{Q}}}$ vừa tìm được.
- Biến đổi về đúng dạng $\left( Q \right):ax+by+cz-14=0,$ đồng nhất hệ số tìm $a,b,c.$
Cách giải:
Đường thẳng $d:\dfrac{x}{1}=\dfrac{y-2}{1}=\dfrac{z+6}{-2}$ có 1 VTCP là $\overrightarrow{{{u}_{d}}}=\left( 1;1;-2 \right).$
Mặt phẳng $\left( P \right):2x-2y+z+2021=0$ có 1 VTPT là $\overrightarrow{{{n}_{P}}}=\left( 2;-2;1 \right).$
Vì $\left\{ \begin{aligned}
& d\subset \left( Q \right) \\
& \left( P \right)\bot \left( Q \right) \\
\end{aligned} \right.\Rightarrow \left\{ \begin{aligned}
& \overrightarrow{{{u}_{d}}}\bot \overrightarrow{{{n}_{Q}}} \\
& \overrightarrow{{{n}_{P}}}\bot \overrightarrow{{{n}_{Q}}} \\
\end{aligned} \right.\Rightarrow \overrightarrow{{{n}_{Q}}}=\left[ \overrightarrow{{{u}_{d}}},\overrightarrow{{{n}_{P}}} \right]=\left( -3;-5;-4 \right).$
Ta có $M\left( 0;2;-6 \right)\in d.$ Vì $d\subset \left( Q \right)\Rightarrow M\in \left( Q \right).$
Suy ra phương trình mặt phẳng $\left( Q \right)$ là $-3x-5\left( y-2 \right)-4\left( z+6 \right)=0\Leftrightarrow -3x-5y-4z-14=0.$
$\Rightarrow a=-3,b=-5,c=-4.$
Vậy $a+b+c=-3-5-4=-12.$