Google
Câu hỏi: Trong không gian $Oxyz$, cho mặt phẳng $\left( \alpha \right):3x-y+2z-5=0$ và hai điểm $A\left( 8;-3;3 \right)$, $B\left( 11;-2;13 \right)$. Gọi $M$, $N$ là hai điểm thuộc mặt phẳng $\left( \alpha \right)$ sao cho $MN=\sqrt{6}$. Giá trị nhỏ nhất của $AM+BN$ là
A. $2\sqrt{13}$.
B. $\sqrt{53}$.
C. $4\sqrt{33}$.
D. $2\sqrt{33}$.
Dễ dàng kiểm tra $A,B$ cùng phía với mặt phẳng $\left( \alpha \right)$.
Gọi ${{\Delta }_{1}}$ là đường thẳng qua $A$ và vuông góc với $\left( \alpha \right)$, ta có ${{\Delta }_{1}}:\left\{ \begin{aligned}
& x=8+3t \\
& y=-3-t \\
& z=3+2t. \\
\end{aligned} \right.$
${{\Delta }_{1}}\cap \left( \alpha \right)\Rightarrow t=-2$ suy ra $H\left( 2;-1;-1 \right)$ và $AH=2\sqrt{14}$.
Gọi ${{\Delta }_{2}}$ là đường thẳng qua $B$ và vuông góc với $\left( \alpha \right)$, ta có ${{\Delta }_{2}}:\left\{ \begin{aligned}
& x=11+3t \\
& y=-2-t \\
& z=13+2t. \\
\end{aligned} \right.$
${{\Delta }_{1}}\cap \left( \alpha \right)\Rightarrow t=-4$ suy ra $K\left( -1;2;5 \right)$ ; $BK=4\sqrt{14}$ và $HK=3\sqrt{6}$.
Ta có $AM+BN=\sqrt{A{{H}^{2}}+H{{M}^{2}}}+\sqrt{B{{K}^{2}}+K{{N}^{2}}}\ge \sqrt{{{\left( AH+BK \right)}^{2}}+{{\left( HM+KN \right)}^{2}}}$.
Mà $HM+MN+KN\ge HK\Leftrightarrow HM+KN\ge HK-MN=2\sqrt{6}$ nên
A. $2\sqrt{13}$.
B. $\sqrt{53}$.
C. $4\sqrt{33}$.
D. $2\sqrt{33}$.
Gọi ${{\Delta }_{1}}$ là đường thẳng qua $A$ và vuông góc với $\left( \alpha \right)$, ta có ${{\Delta }_{1}}:\left\{ \begin{aligned}
& x=8+3t \\
& y=-3-t \\
& z=3+2t. \\
\end{aligned} \right.$
${{\Delta }_{1}}\cap \left( \alpha \right)\Rightarrow t=-2$ suy ra $H\left( 2;-1;-1 \right)$ và $AH=2\sqrt{14}$.
Gọi ${{\Delta }_{2}}$ là đường thẳng qua $B$ và vuông góc với $\left( \alpha \right)$, ta có ${{\Delta }_{2}}:\left\{ \begin{aligned}
& x=11+3t \\
& y=-2-t \\
& z=13+2t. \\
\end{aligned} \right.$
${{\Delta }_{1}}\cap \left( \alpha \right)\Rightarrow t=-4$ suy ra $K\left( -1;2;5 \right)$ ; $BK=4\sqrt{14}$ và $HK=3\sqrt{6}$.
Ta có $AM+BN=\sqrt{A{{H}^{2}}+H{{M}^{2}}}+\sqrt{B{{K}^{2}}+K{{N}^{2}}}\ge \sqrt{{{\left( AH+BK \right)}^{2}}+{{\left( HM+KN \right)}^{2}}}$.
Mà $HM+MN+KN\ge HK\Leftrightarrow HM+KN\ge HK-MN=2\sqrt{6}$ nên
$AM+BN\ge \sqrt{{{\left( 2\sqrt{14}+4\sqrt{14} \right)}^{2}}+{{\left( 2\sqrt{6} \right)}^{2}}}=4\sqrt{33}$.
Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi $H,M,N,K$ thẳng hàng.Đáp án C.