Google
Câu hỏi: Trong không gian $Oxyz$, cho mặt phẳng $\left( \alpha \right): 2x-2y-z+1=0$ và hai đường thẳng ${{d}_{1}}: \left\{ \begin{aligned}
& x=-2+t \\
& y=2+t \\
& z=-t \\
\end{aligned} \right. $, $ {{d}_{2}}: \left\{ \begin{aligned}
& x=2{t}' \\
& y=3+{t}' \\
& z=1 \\
\end{aligned} \right. $. Gọi $ \Delta $ là đường thẳng nằm trong mặt phẳng $ \left( \alpha \right) $ và cắt cả hai đường thẳng $ {{d}_{1}}, {{d}_{2}} $. Đường thẳng $ \Delta $ có phương trình là
A. $\dfrac{x-7}{1}=\dfrac{y-3}{-3}=\dfrac{z-9}{8}$.
B. $\dfrac{x-3}{1}=\dfrac{y-3}{-3}=\dfrac{z+1}{8}$.
C. $\dfrac{x-1}{1}=\dfrac{y+1}{-3}=\dfrac{z-5}{8}$.
D. $\dfrac{x-6}{1}=\dfrac{y-6}{3}=\dfrac{z-1}{8}$.
& x=-2+t \\
& y=2+t \\
& z=-t \\
\end{aligned} \right. $, $ {{d}_{2}}: \left\{ \begin{aligned}
& x=2{t}' \\
& y=3+{t}' \\
& z=1 \\
\end{aligned} \right. $. Gọi $ \Delta $ là đường thẳng nằm trong mặt phẳng $ \left( \alpha \right) $ và cắt cả hai đường thẳng $ {{d}_{1}}, {{d}_{2}} $. Đường thẳng $ \Delta $ có phương trình là
A. $\dfrac{x-7}{1}=\dfrac{y-3}{-3}=\dfrac{z-9}{8}$.
B. $\dfrac{x-3}{1}=\dfrac{y-3}{-3}=\dfrac{z+1}{8}$.
C. $\dfrac{x-1}{1}=\dfrac{y+1}{-3}=\dfrac{z-5}{8}$.
D. $\dfrac{x-6}{1}=\dfrac{y-6}{3}=\dfrac{z-1}{8}$.
Gọi $A=\Delta \cap {{d}_{1}}, B=\Delta \cap {{d}_{2}}$. Vì $\Delta \subset \left( \alpha \right)$ nên $A=\left( \alpha \right)\cap {{d}_{1}}, B=\left( \alpha \right)\cap {{d}_{2}}$
Vì $A\in {{d}_{1}}\Rightarrow A\left( -2+t; 2+t; -t \right)$, mà $A\in \left( \alpha \right)$ nên $-4+2t-4-2t+t+1=0\Leftrightarrow t=7$
$\Rightarrow A\left( 5;9; -7 \right)$
Vì $B\in {{d}_{2}}\Rightarrow B\left( 2{t}'; 3+{t}'; 1 \right)$, mà $B\in \left( \alpha \right)$ nên $4{t}'-6-2{t}'-1+1=0\Leftrightarrow {t}'=3\Rightarrow B\left( 6; 6; 1 \right)$.
Khi đó đường thẳng $\Delta $ có vectơ chỉ phương là $\overrightarrow{u}=\overrightarrow{AB}=\left( 1; -3; 8 \right)$ và đi qua điểm $B\left( 6; 6; 1 \right)$. Do đó phương trình $\Delta $ là $\dfrac{x-6}{1}=\dfrac{y-6}{-3}=\dfrac{z-1}{8}$
Xét phương án A: $\dfrac{x-7}{1}=\dfrac{y-3}{-3}=\dfrac{z-9}{8}$. Ta thấy đường thẳng này có cùng VTCP với đường thẳng $\Delta $ và đi qua điểm $E\left( 7; 3; 9 \right)$. Dễ thấy $E\in \Delta $. Do đó phương án A thoả mãn.
Vì $A\in {{d}_{1}}\Rightarrow A\left( -2+t; 2+t; -t \right)$, mà $A\in \left( \alpha \right)$ nên $-4+2t-4-2t+t+1=0\Leftrightarrow t=7$
$\Rightarrow A\left( 5;9; -7 \right)$
Vì $B\in {{d}_{2}}\Rightarrow B\left( 2{t}'; 3+{t}'; 1 \right)$, mà $B\in \left( \alpha \right)$ nên $4{t}'-6-2{t}'-1+1=0\Leftrightarrow {t}'=3\Rightarrow B\left( 6; 6; 1 \right)$.
Khi đó đường thẳng $\Delta $ có vectơ chỉ phương là $\overrightarrow{u}=\overrightarrow{AB}=\left( 1; -3; 8 \right)$ và đi qua điểm $B\left( 6; 6; 1 \right)$. Do đó phương trình $\Delta $ là $\dfrac{x-6}{1}=\dfrac{y-6}{-3}=\dfrac{z-1}{8}$
Xét phương án A: $\dfrac{x-7}{1}=\dfrac{y-3}{-3}=\dfrac{z-9}{8}$. Ta thấy đường thẳng này có cùng VTCP với đường thẳng $\Delta $ và đi qua điểm $E\left( 7; 3; 9 \right)$. Dễ thấy $E\in \Delta $. Do đó phương án A thoả mãn.
Đáp án A.