Google
Câu hỏi: Trong không gian $Oxyz$, cho mặt phẳng $\left( \alpha \right)$ vuông góc với $\Delta :\dfrac{x}{1}=\dfrac{y}{-2}=\dfrac{z}{3}$ và $\left( \alpha \right)$ cắt trục $Ox$, trục $Oy$ và tia $Oz$ lần lượt tại $M$, $N$, $P$. Biết rằng thể tích khối tứ diện $OMNP$ bằng $6$. Mặt phẳng $\left( \alpha \right)$ đi qua điểm nào sau đây?
A. $B\left( 1;-1;1 \right)$.
B. $A\left( 1;-1;-3 \right)$.
C. $C\left( 1;-1;2 \right)$.
D. $D\left( 1;-1;-2 \right)$.
A. $B\left( 1;-1;1 \right)$.
B. $A\left( 1;-1;-3 \right)$.
C. $C\left( 1;-1;2 \right)$.
D. $D\left( 1;-1;-2 \right)$.
Ta có $M\left( m;0;0 \right)$, $N\left( 0;n;0 \right)$ và $P\left( 0;0;p \right)$ với $m,n,p\ne 0$ và $p>0$.
Phương trình mặt phẳng $\left( \alpha \right):\dfrac{x}{m}+\dfrac{y}{n}+\dfrac{z}{p}=1\Leftrightarrow \left( np \right)x+\left( mp \right)y+\left( mn \right)z-mnp=0$.
Thể tích $OMNP$ là ${{V}_{OMNP}}=\dfrac{1}{6}\left| m.n.p \right|=6\Rightarrow \left| m.n.p \right|=36$ $\left( * \right)$.
Lại có $\left( \alpha \right)\bot \Delta \Rightarrow \overrightarrow{{{n}_{\alpha }}}$ cùng phương $\overrightarrow{{{u}_{\Delta }}}$ nên $\dfrac{np}{1}=\dfrac{mp}{-2}=\dfrac{mn}{3}\Rightarrow \left\{ \begin{aligned}
& m=-2n \\
& p=-\dfrac{2}{3}n \\
\end{aligned} \right.\Rightarrow n<0,m>0$.
Thay vào $\left( * \right)$ ta có $\left| \left( -2n \right).n.\left( -\dfrac{2}{3}n \right) \right|=36\Leftrightarrow {{\left| n \right|}^{3}}=27\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& n=3 \\
& n=-3 \\
\end{aligned} \right.\Rightarrow n=-3\Rightarrow \left\{ \begin{aligned}
& m=6 \\
& p=2 \\
\end{aligned} \right.$.
$\left( \alpha \right):\dfrac{x}{6}+\dfrac{y}{-3}+\dfrac{z}{2}=1\Rightarrow B\left( 1;-1;1 \right)\in \left( \alpha \right)$.
Phương trình mặt phẳng $\left( \alpha \right):\dfrac{x}{m}+\dfrac{y}{n}+\dfrac{z}{p}=1\Leftrightarrow \left( np \right)x+\left( mp \right)y+\left( mn \right)z-mnp=0$.
Thể tích $OMNP$ là ${{V}_{OMNP}}=\dfrac{1}{6}\left| m.n.p \right|=6\Rightarrow \left| m.n.p \right|=36$ $\left( * \right)$.
Lại có $\left( \alpha \right)\bot \Delta \Rightarrow \overrightarrow{{{n}_{\alpha }}}$ cùng phương $\overrightarrow{{{u}_{\Delta }}}$ nên $\dfrac{np}{1}=\dfrac{mp}{-2}=\dfrac{mn}{3}\Rightarrow \left\{ \begin{aligned}
& m=-2n \\
& p=-\dfrac{2}{3}n \\
\end{aligned} \right.\Rightarrow n<0,m>0$.
Thay vào $\left( * \right)$ ta có $\left| \left( -2n \right).n.\left( -\dfrac{2}{3}n \right) \right|=36\Leftrightarrow {{\left| n \right|}^{3}}=27\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& n=3 \\
& n=-3 \\
\end{aligned} \right.\Rightarrow n=-3\Rightarrow \left\{ \begin{aligned}
& m=6 \\
& p=2 \\
\end{aligned} \right.$.
$\left( \alpha \right):\dfrac{x}{6}+\dfrac{y}{-3}+\dfrac{z}{2}=1\Rightarrow B\left( 1;-1;1 \right)\in \left( \alpha \right)$.
Đáp án A.