Trong không gian Oxyz, cho mặt phẳng $\left(\alpha \right)$...

Do A, B, C lần lượt là giao điểm của $\left(\alpha \right)$ với 3 trục tọa độ nên tọa độ $\{\begin{array}{rl}& A(-6;0;0)\\ & B(0;-4;0)\\ & C(0;0;6)\end{array}$
Gọi I là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC.
Khi đó tọa độ điểm I thỏa mãn hệ
$\{\begin{array}{rl}& IA=IB\\ & IB=IC\\ & \overrightarrow{BI}[\overrightarrow{BA};\overrightarrow{BC}]=0\end{array}\iff \{\begin{array}{rl}& 12x-8y=-20\\ & 8y+12z=20\\ & 2x+3(y+4)-2z=0\end{array}\iff \{\begin{array}{rl}& x={\displaystyle \frac{-39}{17}}\\ & y={\displaystyle \frac{-16}{17}}\\ & z={\displaystyle \frac{39}{17}}\end{array}$
Khi đó phương trình đường thẳng d sẽ là $\iff \{\begin{array}{rl}& x={\displaystyle \frac{-39}{17}}+2t\\ & y={\displaystyle \frac{-16}{17}}+3t\\ & z={\displaystyle \frac{39}{17}}-2t\end{array}$ với $t=-{\displaystyle \frac{6}{17}}\Rightarrow \{\begin{array}{rl}& x=-3\\ & y=-2\\ & z=3\end{array}$
Vậy phương trình đường thẳng d là ${\displaystyle \frac{x+3}{2}}={\displaystyle \frac{y+2}{3}}={\displaystyle \frac{z-3}{-2}}$