Trong không gian $Oxyz,$ cho mặt phẳng $(\alpha ):x+by+cz+d=0$...

Ta có VTPT của $\left( \beta \right),\left( P \right),\left( Q \right)$ lần lượt là $\overrightarrow{{{n}_{1}}}\left( 1;2;3 \right), \overrightarrow{{{n}_{2}}}\left( 1;3;1 \right), \overrightarrow{{{n}_{3}}}\left( 1;-1;1 \right)$.
Khi đó $\overrightarrow{{{n}_{\alpha }}}=\left[ \overrightarrow{{{n}_{1}}},\left[ \overrightarrow{{{n}_{2}}},\overrightarrow{{{n}_{3}}} \right] \right]=\left( -8;16;-8 \right)=-8\left( 1;-2;1 \right)$.
Gọi $A\left( x;y;z \right)\in d$ là giao tuyến của $\left( P \right)$ và $\left( Q \right)$, khi đó toạ độ điểm $A$ thoả mãn hệ $\left\{ \begin{aligned}
& x+3y+z-7=0 \\
& x-y+z+1=0 \\
\end{aligned} \right. $. Cho $ x=0 $ ta có $ \left\{ \begin{aligned}
& 3y+z-7=0 \\
& -y+z+1=0 \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& y=2 \\
& z=1 \\
\end{aligned} \right. $, khi đó $ A\left( 0;2;1 \right)$
Do $\left( \alpha \right)$ chứa giao tuyến của $\left( P \right)$ và $\left( Q \right)$ nên $\left( \alpha \right)$ đi qua $A\left( 0;2;1 \right)$.
Phương trình $\left( \alpha \right):x-2\left( y-1 \right)+z-1=0\Leftrightarrow x-2y+z+3=0$. Vậy $d=3$.