Google
Câu hỏi: Trong không gian $Oxyz$, cho mặt cầu $(S):{{x}^{2}}+{{y}^{2}}+{{\left( z-3 \right)}^{2}}=8$ và hai điểm $A(4;-4;3)$, $B(1;-1;7)$. Gọi $({{C}_{1}})$ là tập hợp các điểm $M\in \left( S \right)$ sao cho biểu thức $\left| MA-2MB \right|$ đạt giá trị nhỏ nhất. Biết $({{C}_{1}})$ là một đường tròn, bán kính của đường tròn đó bằng
A. 2.
B. $\sqrt{6}$.
C. $\sqrt{7}$.
D. $\sqrt{5}$.
Mặt cầu $\left( S \right)$ có tâm $I\left( 0;0;3 \right); R=2\sqrt{2}$.
Gọi $C$ là điểm trên đoạn $IA$ thỏa mãn $IC=\dfrac{1}{4}IA$ $\Rightarrow C\left( 1;-1;3 \right)$.
Xét $\Delta IAM$ và $\Delta IMC$ có $\widehat{AIM}=\widehat{MIC}$ ; $\dfrac{IA}{IM}=\dfrac{IM}{IC}=2$ $\Rightarrow \Delta IAM\sim \Delta IMC\Rightarrow MA=2MC$.
Từ đó ta có $\left| MA-2MB \right|=2\left| MC-MB \right|\ge 0$.
Dấu $''=''$ xảy ra khi $M$ nằm trên mặt phẳng trung trực $(P)$ của $BC$.
Mặt phẳng trung trực của $BC$ có phương trình là $z=5$.
Khi đó $M$ nằm trên đường tròn có bán kính $r=\sqrt{{{R}^{2}}-{{d}^{2}}\left( I,(P) \right)}=\sqrt{8-4}=2$.
A. 2.
B. $\sqrt{6}$.
C. $\sqrt{7}$.
D. $\sqrt{5}$.
Gọi $C$ là điểm trên đoạn $IA$ thỏa mãn $IC=\dfrac{1}{4}IA$ $\Rightarrow C\left( 1;-1;3 \right)$.
Xét $\Delta IAM$ và $\Delta IMC$ có $\widehat{AIM}=\widehat{MIC}$ ; $\dfrac{IA}{IM}=\dfrac{IM}{IC}=2$ $\Rightarrow \Delta IAM\sim \Delta IMC\Rightarrow MA=2MC$.
Từ đó ta có $\left| MA-2MB \right|=2\left| MC-MB \right|\ge 0$.
Dấu $''=''$ xảy ra khi $M$ nằm trên mặt phẳng trung trực $(P)$ của $BC$.
Mặt phẳng trung trực của $BC$ có phương trình là $z=5$.
Khi đó $M$ nằm trên đường tròn có bán kính $r=\sqrt{{{R}^{2}}-{{d}^{2}}\left( I,(P) \right)}=\sqrt{8-4}=2$.
Đáp án A.