Google
Câu hỏi: Trong không gian $Oxyz$ cho mặt cầu $(S):(x+2)^{2}+y^{2}+(z+5)^{2}=24$ cắt mặt phẳng
$(\alpha): x+y+4=0$ theo giao tuyến là đường tròn $(C)$. Điểm $M$ thuộc $(C)$ sao cho khoàng cách từ $M$ đến $A(4 ;-12 ; 1)$ nhỏ nhất có tung độ bằng
A. $-6$.
B. $-4 .$
C. 0.
D. 2.
$(\alpha): x+y+4=0$ theo giao tuyến là đường tròn $(C)$. Điểm $M$ thuộc $(C)$ sao cho khoàng cách từ $M$ đến $A(4 ;-12 ; 1)$ nhỏ nhất có tung độ bằng
A. $-6$.
B. $-4 .$
C. 0.
D. 2.
Mặt cầu có tâm $I\left( -2;0;-5 \right)$, bán kính $R=2\sqrt{6}$. $d\left( I,\left( \alpha \right) \right)=\dfrac{\left| -2+4 \right|}{\sqrt{2}}=\sqrt{2}$.
Gọi $H$ là hình chiếu của $I$ lên $\left( \alpha \right)\Rightarrow H\left( -3;-1;-5 \right)$.
Gọi ${{H}_{1}}$ là hình chiếu của $A$ lên $\left( \alpha \right)\Rightarrow {{H}_{1}}\left( 6;-10;1 \right)$. $\overrightarrow{H{{H}_{1}}}=\left( 9;-9;6 \right)$
Gọi $r$ là bán kính đường tròn $(C)$ thì $r=\sqrt{{{R}^{2}}-I{{H}^{2}}}=\sqrt{22}$.
.Đặt $AM$ ngắn nhất khi ${{H}_{1}}M$ ngắn nhất khi ${{H}_{1}},M,H$ thẳng hàng và $M$ nằm giữa ${{H}_{1}}H$.
Phương trình đường ${{H}_{1}}H:\left\{ \begin{aligned}
& x=-3+3t \\
& y=-1-3t \\
& z=-5+2t \\
\end{aligned} \right.\Rightarrow M\left( -3+3t;-1-3t;-5+2t \right)$.
${{\left( -1+3t \right)}^{2}}+{{\left( -1-3t \right)}^{2}}+{{\left( 2t \right)}^{2}}=24\Leftrightarrow {{t}^{2}}-1=0\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& t=1 \\
& t=-1 \\
\end{aligned} \right.$.
$\begin{aligned}
& t=1\Rightarrow M\left( 0;-4;-3 \right)\Rightarrow \overrightarrow{M{{H}_{1}}}=\left( 6;-6;4 \right)\Rightarrow M{{H}_{1}}=2\sqrt{22} \\
& t=-1\Rightarrow M\left( -6;2;7 \right)\Rightarrow \overrightarrow{M{{H}_{1}}}=\left( 12;-12;7 \right)\Rightarrow M{{H}_{1}}=\sqrt{337} \\
\end{aligned}$
Do $2\sqrt{22}<\sqrt{337}\Rightarrow M\left( 0;-4;-3 \right)\Rightarrow y=-4$.
Gọi $H$ là hình chiếu của $I$ lên $\left( \alpha \right)\Rightarrow H\left( -3;-1;-5 \right)$.
Gọi ${{H}_{1}}$ là hình chiếu của $A$ lên $\left( \alpha \right)\Rightarrow {{H}_{1}}\left( 6;-10;1 \right)$. $\overrightarrow{H{{H}_{1}}}=\left( 9;-9;6 \right)$
Gọi $r$ là bán kính đường tròn $(C)$ thì $r=\sqrt{{{R}^{2}}-I{{H}^{2}}}=\sqrt{22}$.
Phương trình đường ${{H}_{1}}H:\left\{ \begin{aligned}
& x=-3+3t \\
& y=-1-3t \\
& z=-5+2t \\
\end{aligned} \right.\Rightarrow M\left( -3+3t;-1-3t;-5+2t \right)$.
${{\left( -1+3t \right)}^{2}}+{{\left( -1-3t \right)}^{2}}+{{\left( 2t \right)}^{2}}=24\Leftrightarrow {{t}^{2}}-1=0\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& t=1 \\
& t=-1 \\
\end{aligned} \right.$.
$\begin{aligned}
& t=1\Rightarrow M\left( 0;-4;-3 \right)\Rightarrow \overrightarrow{M{{H}_{1}}}=\left( 6;-6;4 \right)\Rightarrow M{{H}_{1}}=2\sqrt{22} \\
& t=-1\Rightarrow M\left( -6;2;7 \right)\Rightarrow \overrightarrow{M{{H}_{1}}}=\left( 12;-12;7 \right)\Rightarrow M{{H}_{1}}=\sqrt{337} \\
\end{aligned}$
Do $2\sqrt{22}<\sqrt{337}\Rightarrow M\left( 0;-4;-3 \right)\Rightarrow y=-4$.
Đáp án B.