Trong không gian $Oxyz$, cho mặt cầu...

Mặt cầu $(S)$ có tâm $I(1;-1;1)$, bán kính $R=\sqrt{6}$.
Gọi $x$ là khoảng cách từ $I$ đến mặt phẳng $(\alpha )$, $0<x<\sqrt{6}$. Khi đó, thể tích khối nón đỉnh $I$, đáy là đường tròn $(C)$ là: $V={\displaystyle \frac{1}{3}}x(6-x^2)=-{\displaystyle \frac{x^3}{3}}+2x$
Xét hàm số $f(x)=-{\displaystyle \frac{x^3}{3}}+2x,$ với $0<x<\sqrt{6}$
$f^{\prime }(x)=-x^2+2;f^{\prime }(x)=0\iff x=\pm \sqrt{2}$
Hàm số $y=f(x)$ liên tục trên $[0;\sqrt{6}]$, có $f(0)=f(\sqrt{6})=0,f(\sqrt{2})=\sqrt{2}$,
nên $\underset{}{\underset{(0;\sqrt{6})}{Max}f(x)}=\sqrt{2}$, đạt được khi $x=\sqrt{2}$.
Gọi $\overrightarrow{u}=(1;-4;1)$ là một véc tơ chỉ phương của đường thẳng $d$. Vì $IH\mathrm{\perp }(\alpha )$ nên tồn tại số thực $k$ sao cho $\overrightarrow{IH}=k\overrightarrow{u}$, suy ra $\left|\overrightarrow{IH}\right|=|k|.\left|\overrightarrow{u}\right|\Rightarrow |k|={\displaystyle \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{18}}}={\displaystyle \frac{1}{3}}\Rightarrow k=\pm {\displaystyle \frac{1}{3}}$.
Với $k={\displaystyle \frac{1}{3}}:$ $\overrightarrow{IH}={\displaystyle \frac{1}{3}}\overrightarrow{u}\Rightarrow H({\displaystyle \frac{4}{3}};-{\displaystyle \frac{7}{3}};{\displaystyle \frac{4}{3}})$ $\Rightarrow (\alpha ):x-4y+z-6=0$ (nhận vì $O\notin (\alpha )$ )
Với $k=-{\displaystyle \frac{1}{3}}:$ $\overrightarrow{IH}=-{\displaystyle \frac{1}{3}}\overrightarrow{u}\Rightarrow H({\displaystyle \frac{2}{3}};{\displaystyle \frac{1}{3}};{\displaystyle \frac{2}{3}})$ $\Rightarrow (\alpha ):x-4y+z=0$ ( loại vì $O\in (\alpha )$ ).
Vậy $x_H+y_H+z_H={\displaystyle \frac{1}{3}}$.