Google
Câu hỏi: . Trong không gian Oxyz, cho mặt cầu $(S):{{(x+2)}^{2}}+{{(y-1)}^{2}}+{{(z+\sqrt{2})}^{2}}=9$ và hai điểm $A(-2;0;-2\sqrt{2}),B(-4;-4;0)$. Biết rằng tập hợp các điểm M thuộc $(S)$ sao cho $M{{A}^{2}}+\overrightarrow{MO}.\overrightarrow{MB}=16$ là một đường tròn. Bán kính của đường tròn đó bằng
A. $\sqrt{3}.$
B. $\sqrt{2}.$
C. $2\sqrt{2}.$
D. $\sqrt{5}.$
A. $\sqrt{3}.$
B. $\sqrt{2}.$
C. $2\sqrt{2}.$
D. $\sqrt{5}.$
Gọi . $M\left( x;y;z \right)$ ta có $\overrightarrow{AM}=\left( x+2;y;z+2\sqrt{2} \right),\overrightarrow{OM}=\left( x;y;z \right),\overrightarrow{BM}=\left( x+4;y+4;z \right)$.
Ta có: $M{{A}^{2}}+\overrightarrow{MO}.\overrightarrow{MB}=16\Leftrightarrow M{{A}^{2}}+\overrightarrow{OM}.\overrightarrow{BM}=16$
$\Leftrightarrow {{\left( x+2 \right)}^{2}}+{{y}^{2}}+{{\left( z+2\sqrt{2} \right)}^{2}}+x\left( x+4 \right)+y\left( y+4 \right)+{{z}^{2}}=16$
$\Leftrightarrow {{x}^{2}}+{{y}^{2}}+{{z}^{2}}+4x+4y+2\sqrt{2}z-2=0\left( 1 \right)$
Ta lại có:
$M\in \left( S \right)\Rightarrow {{\left( x+2 \right)}^{2}}+{{\left( y-1 \right)}^{2}}+{{\left( z+\sqrt{2} \right)}^{2}}=9\Leftrightarrow {{x}^{2}}+{{y}^{2}}+{{z}^{2}}+4x-2y+2\sqrt{2}z-2=0\left( 2 \right)$
Từ (1), (2) ta có hệ phương trình: $\left\{ \begin{aligned}
& {{x}^{2}}+{{y}^{2}}+{{z}^{2}}+4x+4y+2\sqrt{2}z=0 \\
& {{x}^{2}}+{{y}^{2}}+{{z}^{2}}+4x-2y+2\sqrt{2}z-2=0 \\
\end{aligned} \right.\Rightarrow 6y=0\Leftrightarrow y=0$.
Vậy tập hợp các điểm M là đường tròn giao tuyến $\left( C \right)$ của $\left( S \right)$ và mặt phẳng $\left( P \right):y=0$.
Đường tròn $\left( C \right)$ có bán kính $r=\sqrt{{{R}^{2}}-{{\left[ d\left( I;\left( P \right) \right) \right]}^{2}}}\left( * \right)$.
Mặt cầu $\left( S \right)$ có tâm $I\left( -2;1;-\sqrt{2} \right)$, bán kính $R=3\Rightarrow d\left( I;\left( P \right) \right)=1$.
Do đó, $\left( * \right)\Rightarrow r=\sqrt{{{3}^{2}}-{{1}^{2}}}=2\sqrt{2}$.
Ta có: $M{{A}^{2}}+\overrightarrow{MO}.\overrightarrow{MB}=16\Leftrightarrow M{{A}^{2}}+\overrightarrow{OM}.\overrightarrow{BM}=16$
$\Leftrightarrow {{\left( x+2 \right)}^{2}}+{{y}^{2}}+{{\left( z+2\sqrt{2} \right)}^{2}}+x\left( x+4 \right)+y\left( y+4 \right)+{{z}^{2}}=16$
$\Leftrightarrow {{x}^{2}}+{{y}^{2}}+{{z}^{2}}+4x+4y+2\sqrt{2}z-2=0\left( 1 \right)$
Ta lại có:
$M\in \left( S \right)\Rightarrow {{\left( x+2 \right)}^{2}}+{{\left( y-1 \right)}^{2}}+{{\left( z+\sqrt{2} \right)}^{2}}=9\Leftrightarrow {{x}^{2}}+{{y}^{2}}+{{z}^{2}}+4x-2y+2\sqrt{2}z-2=0\left( 2 \right)$
Từ (1), (2) ta có hệ phương trình: $\left\{ \begin{aligned}
& {{x}^{2}}+{{y}^{2}}+{{z}^{2}}+4x+4y+2\sqrt{2}z=0 \\
& {{x}^{2}}+{{y}^{2}}+{{z}^{2}}+4x-2y+2\sqrt{2}z-2=0 \\
\end{aligned} \right.\Rightarrow 6y=0\Leftrightarrow y=0$.
Vậy tập hợp các điểm M là đường tròn giao tuyến $\left( C \right)$ của $\left( S \right)$ và mặt phẳng $\left( P \right):y=0$.
Đường tròn $\left( C \right)$ có bán kính $r=\sqrt{{{R}^{2}}-{{\left[ d\left( I;\left( P \right) \right) \right]}^{2}}}\left( * \right)$.
Mặt cầu $\left( S \right)$ có tâm $I\left( -2;1;-\sqrt{2} \right)$, bán kính $R=3\Rightarrow d\left( I;\left( P \right) \right)=1$.
Do đó, $\left( * \right)\Rightarrow r=\sqrt{{{3}^{2}}-{{1}^{2}}}=2\sqrt{2}$.
Đáp án C.