Google
Câu hỏi: Trong không gian Oxyz, cho mặt cầu (S) có tâm $I\left( -1;2;5 \right)$ và đi qua điểm $A\left( 1;0;1 \right)$. Xét các điểm B, C, D thuộc mặt cầu (S) sao cho AB, AC, AD đôi một vuông góc với nhau. Thể tích của khối tứ diện ABCD có giá trị lớn nhất bằng
A. $\dfrac{32\sqrt{3}}{9}.$
B. $\dfrac{64\sqrt{6}}{3}.$
C. $\dfrac{63\sqrt{2}}{3}.$
D. $\dfrac{128\sqrt{6}}{3}.$
A. $\dfrac{32\sqrt{3}}{9}.$
B. $\dfrac{64\sqrt{6}}{3}.$
C. $\dfrac{63\sqrt{2}}{3}.$
D. $\dfrac{128\sqrt{6}}{3}.$
Đặt $AB=a,AC=b,AD=c$ thì ABCD là tứ diện vuông đỉnh A nội tiếp mặt cầu (S). Khi đó ABCD là tứ diện đặt ở góc A của hình hộp chữ nhật tương ứng có các cạnh AB, AC, AD và đường chéo AA' là đường kính của cầu.
Ta có: ${{a}^{2}}+{{b}^{2}}+{{c}^{2}}=4{{R}^{2}}$. Xét $V={{V}_{ABCD}}=\dfrac{1}{6}abc\Leftrightarrow {{V}^{2}}=\dfrac{1}{36}{{a}^{2}}{{b}^{2}}{{c}^{2}}$.
Mặt khác ${{a}^{2}}+{{b}^{2}}+{{c}^{2}}\ge 3\sqrt[3]{{{a}^{2}}{{b}^{2}}{{c}^{2}}}\Leftrightarrow \left( \dfrac{{{a}^{2}}+{{b}^{2}}+{{c}^{2}}}{3} \right)\ge {{a}^{2}}{{b}^{2}}{{c}^{2}}\Leftrightarrow {{\left( \dfrac{4{{R}^{2}}}{3} \right)}^{3}}\le 36.{{V}^{2}}\Leftrightarrow V\le {{R}^{3}}.\dfrac{4\sqrt{3}}{27}$
Với $R=IA=2\sqrt{6}.$ Vậy ${{V}_{\max }}=\dfrac{64\sqrt{2}}{3}$.
Ta có: ${{a}^{2}}+{{b}^{2}}+{{c}^{2}}=4{{R}^{2}}$. Xét $V={{V}_{ABCD}}=\dfrac{1}{6}abc\Leftrightarrow {{V}^{2}}=\dfrac{1}{36}{{a}^{2}}{{b}^{2}}{{c}^{2}}$.
Mặt khác ${{a}^{2}}+{{b}^{2}}+{{c}^{2}}\ge 3\sqrt[3]{{{a}^{2}}{{b}^{2}}{{c}^{2}}}\Leftrightarrow \left( \dfrac{{{a}^{2}}+{{b}^{2}}+{{c}^{2}}}{3} \right)\ge {{a}^{2}}{{b}^{2}}{{c}^{2}}\Leftrightarrow {{\left( \dfrac{4{{R}^{2}}}{3} \right)}^{3}}\le 36.{{V}^{2}}\Leftrightarrow V\le {{R}^{3}}.\dfrac{4\sqrt{3}}{27}$
Với $R=IA=2\sqrt{6}.$ Vậy ${{V}_{\max }}=\dfrac{64\sqrt{2}}{3}$.
Đáp án C.