Google
Câu hỏi: Trong không gian Oxyz, cho mặt cầu $\left( S \right):{{x}^{2}}+{{y}^{2}}+{{z}^{2}}-2x-2z=0$ và mặt phẳng $\left( \alpha \right):4x+3y+mz=0$. Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m để $\left( \alpha \right)$ cắt $\left( S \right)$ theo giao tuyến là một đường tròn?
A. 14.
B. 15.
C. 1.
D. Vô số.
A. 14.
B. 15.
C. 1.
D. Vô số.
Mặt cầu $\left( S \right):{{x}^{2}}+{{y}^{2}}+{{z}^{2}}-2x-2z=0$ có tâm $I\left( 1;0;1 \right)$ ; bán kính $R=\sqrt{2}$.
Khoảng cách từ I đến mặt phẳng $\left( \alpha \right):4x+3y+mz=0$ là $d=\dfrac{\left| 4+m \right|}{\sqrt{{{4}^{2}}+{{3}^{2}}+{{m}^{2}}}}$.
Để $\left( \alpha \right)$ cắt $\left( S \right)$ theo một đường tròn thì $\dfrac{\left| 4+m \right|}{\sqrt{{{4}^{2}}+{{3}^{2}}+{{m}^{2}}}}<\sqrt{2}\Leftrightarrow \dfrac{{{\left( m+4 \right)}^{2}}}{{{m}^{2}}+25}<2\Leftrightarrow 2{{m}^{2}}+50-{{\left( m+4 \right)}^{2}}>0$
$\Leftrightarrow {{m}^{2}}-8m+34>0\Leftrightarrow {{\left( m-4 \right)}^{2}}+18>0$ đúng với mọi m.
Do đó với mọi giá trị m ta đều có $\left( \alpha \right)$ cắt $\left( S \right)$ theo giao tuyến là một đường tròn.
Khoảng cách từ I đến mặt phẳng $\left( \alpha \right):4x+3y+mz=0$ là $d=\dfrac{\left| 4+m \right|}{\sqrt{{{4}^{2}}+{{3}^{2}}+{{m}^{2}}}}$.
Để $\left( \alpha \right)$ cắt $\left( S \right)$ theo một đường tròn thì $\dfrac{\left| 4+m \right|}{\sqrt{{{4}^{2}}+{{3}^{2}}+{{m}^{2}}}}<\sqrt{2}\Leftrightarrow \dfrac{{{\left( m+4 \right)}^{2}}}{{{m}^{2}}+25}<2\Leftrightarrow 2{{m}^{2}}+50-{{\left( m+4 \right)}^{2}}>0$
$\Leftrightarrow {{m}^{2}}-8m+34>0\Leftrightarrow {{\left( m-4 \right)}^{2}}+18>0$ đúng với mọi m.
Do đó với mọi giá trị m ta đều có $\left( \alpha \right)$ cắt $\left( S \right)$ theo giao tuyến là một đường tròn.
Đáp án D.