Google
Câu hỏi: Trong không gian $Oxyz$, cho mặt cầu $\left( S \right):{{x}^{2}}+{{\left( y+\sqrt{2} \right)}^{2}}+{{z}^{2}}=16$. Có tất cả bao nhiêu điểm $A\left( a,b,c \right)$ ( $a,c$ là các số nguyên) thuộc mặt phẳng có phương trình $y-2\sqrt{2}=0$ sao cho có ít nhất hai tiếp tuyến của $\left( S \right)$ đi qua $A$ và hai tiếp tuyến đó vuông góc với nhau?
A. 26
B. 32
C. 28
D. 45
A. 26
B. 32
C. 28
D. 45
Phương pháp:
Áp dụng tính chất mặt cầu.
Cách giải:
Ta có $A\in \left( P \right);y=2\sqrt{2}\Rightarrow A\left( a;2\sqrt{2};c \right)$
Gọi $I$ là tâm mặt cầu $\left( S \right)$ nên $I\left( 0;-\sqrt{2};0 \right);R=4$
Qua $A$ kẻ ít nhất hai đường thẳng tiếp tuyến với mặt cầu $\left( S \right)$ và vuông góc với nhau.
Khi đó:
$R\le IA\le R\sqrt{2}$
$\Rightarrow 4\le \sqrt{{{a}^{2}}+{{\left( 2\sqrt{2}+\sqrt{2} \right)}^{2}}+{{c}^{2}}}\le 4\sqrt{2}$
$\Rightarrow 0\le {{a}^{2}}+{{c}^{2}}\le 14$
$\Rightarrow \left( a;c \right)=\left( 0;0 \right);\left( 0;1 \right);\left( 0;-1 \right)$
$\Rightarrow \left\{ \begin{aligned}
& -\sqrt{14}\le a\le \sqrt{14} \\
& -\sqrt{14}\le c\le \sqrt{14} \\
\end{aligned} \right.$
Có 49 điểm trên hình vuông thì có 45 điểm trên hình tròn.
Áp dụng tính chất mặt cầu.
Cách giải:
Ta có $A\in \left( P \right);y=2\sqrt{2}\Rightarrow A\left( a;2\sqrt{2};c \right)$
Gọi $I$ là tâm mặt cầu $\left( S \right)$ nên $I\left( 0;-\sqrt{2};0 \right);R=4$
Qua $A$ kẻ ít nhất hai đường thẳng tiếp tuyến với mặt cầu $\left( S \right)$ và vuông góc với nhau.
Khi đó:
$R\le IA\le R\sqrt{2}$
$\Rightarrow 4\le \sqrt{{{a}^{2}}+{{\left( 2\sqrt{2}+\sqrt{2} \right)}^{2}}+{{c}^{2}}}\le 4\sqrt{2}$
$\Rightarrow 0\le {{a}^{2}}+{{c}^{2}}\le 14$
$\Rightarrow \left( a;c \right)=\left( 0;0 \right);\left( 0;1 \right);\left( 0;-1 \right)$
$\Rightarrow \left\{ \begin{aligned}
& -\sqrt{14}\le a\le \sqrt{14} \\
& -\sqrt{14}\le c\le \sqrt{14} \\
\end{aligned} \right.$
Có 49 điểm trên hình vuông thì có 45 điểm trên hình tròn.
Đáp án D.